概率与统计大题专练(一)·作业(二十七)
1．南锣鼓巷这条胡同位于北京中轴线东侧的交道口地区，至今已有700多年的历史．该胡同是北京最古老的街区之一，因其地势中间高、南北低，如一驼背人，故名罗锅巷．到了清朝，乾隆十五年(1750年)绘制的《京城全图》中将该胡同改称为南锣鼓巷．为了给游客更好的体验，南锣鼓巷商会会长、副会长和负责人经常带人到胡同清扫卫生，其中南锣鼓巷商会11
会长每天带人到胡同清扫卫生的概率为，副会长每天带人到胡同清扫卫生的概率为，负责
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人每天带人到胡同清扫卫生的概率为.
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(1)求南锣鼓巷负责人连续五天带人到胡同清扫卫生的概率；
(2)设商会会长、副会长、负责人三人中某天到胡同清扫卫生的人数为X，求X的分布列； (3)居住在南锣鼓巷的小张对南锣鼓巷商会会长、副会长、负责人非常满意，他对别人说：“南锣鼓巷平均每天至少有1人(会长、副会长、负责人之一)带人清扫卫生．”请问，小张说的是真的吗？
解析 (1)设“南锣鼓巷负责人连续五天带人到胡同清扫卫生”为事件A， 111111则P(A)＝××××＝，
2222232
1
所以南锣鼓巷负责人连续五天带人到胡同清扫卫生的概率为，
32(2)X有所有可能取值为0，1，2，3，则 3211
P(X＝0)＝××＝，
4324
12131132111
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
432432432241111213111
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
43243243241111
P(X＝3)＝××＝，
43224故随机变量X的分布列为
X P 0 1 41 11 242 1 43 1 241111111111313
(3)由(2)知，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0＋＋＋＝，因为>1，所以小张说
42442424281212的是真的．
2．(2019·最后一卷)某车床生产某种零件的不合格率为p(0 现已记录的100天的日生产零件组数的频率作为日生产零件组数的概率． (1)设平均每天可以生产n个零件，求n的值； (2)求p的最大值p0； (3)设每个零件的不合格率是p0，生产1个零件的成本是20元，每个合格零件的出厂价为120元，不合格的零件不得出厂，不计其他成本．假设每天该机床生产的零件数为n，X表示这部车床每天生产零件的利润，求X的数学期望E(X)． (参考数据：0.924×1.32的取值为0.95) 解析 (1)由题意知每天生产14组，15组，16组，17组零件的频率分别是0.2，0.3，0.4和0.1， 所以n＝(14×0.2＋15×0.3＋16×0.4＋17×0.1)×5＝77. (2)记ξ为一组零件中不合格品的个数，则 P(ξ≥2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)]≤0.05， 即1－[(1－p)5＋C51·p·(1－p)4]≤0.05， 整理得(1－p)4(1＋4p)≥0.95. 记f(p)＝(1－p)4(1＋4p)，0 则f′(p)＝－4(1－p)3(1＋4p)＋4(1－p)4＝－20p(1－p)3<0， 所以f(p)在(0，1)上单调递减． 又0.924×1.32的取值为0.95，即(1－0.08)4×(1＋4×0.08)＝0.95， 所以f(0.08)＝0.95，因此(1－p)4(1＋4p)≥0.95等价于f(p)≥f(0.08)， 所以p≤0.08，故p0＝0.08. (3)设生产一个零件的利润为Y元， 由题意得Y的可能取值是100和－20， 则P(Y＝100)＝1－p0＝0.92，P(Y＝－20)＝p0＝0.08. 所以Y的分布列为 Y P 100 0.92 －20 0.08 E(Y)＝100×0.92＋(－20)×0.08＝90.4(元)， 所以E(X)＝77E(Y)＝77×90.4＝6 960.8(元)． 3．(2019·南昌NCS项目第三次模拟)某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布N(80，0.25)，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表： 产品尺寸/mm 件数 [76，78.5] 4 (78.5，79] 27 产品尺寸/mm 件数 (80.5，81] 36 (81，81.5) 20 (81.5，83] 6 — — (79，79.5] 27 (79.5，80.5] 80 根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]以外视为小概率事件．一旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ]以内为正品，以外为次品． P(μ－σ (2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量X，求X的数学期望及方差． 解析 (1)依题意，有μ＝80，σ＝0.5， 所以正常产品尺寸范围为(78.5，81.5]． 生产线正常工作，次品不能多于200×(1－0.997 3)＝0.54(件)，而实际上，超出正常范围以外的零件数为10，故生产线没有正常工作． 101(2)依题意尺寸在(78.5，81.5]以外的就是次品，故次品率为＝. 200201 记这3件产品中次品件数为Y，则Y服从二项分布B(3，)， 20X＝10(3－Y)＋15Y＝5Y＋30，
新课标版数学(新高考)二轮总复习(课件)作业27-29
