q???0?1?bt?bt2dt?const,?qdx????0?1?bt?dt0t11dx，
22??bt2??bt1????????t2?2???t1?2??????????
作同样积分，但以?2为积分上限得：
?q??0?2?bt?22???2?0??bt???t1?1??q????t?2???????22??????? (b)
t?tt?2?12??t0为已知值，于是令(a)?(b)，并以上述t?2表达式代入：2其中，
?0?22??bt2??bt1??2?0?????t22????t1?2????????????2???bt?22???bt1???t1?????t?2?????22????????，
b?最后可解出：
2-84 一种利用对比法测定材料导热系数的装置示意图如附图所示。用导热系数已知的材料A及待测导热系数的材料B制成相同尺寸的两个长圆柱体，并垂直地安置于温度为ts的热源上。采用相同办法冷却两个柱体，并在离开热源相同的距离x1处测定两柱体的温度tA,tB。已知?A＝200W/(m.K)，tA=75℃，tB＝65℃，ts＝100℃，t?＝25℃。试确定?B之值。
?t212?t2/2???t1?t2?2??t0?。
2?2?t0d?x?0，?0dx解：设圆棒可作为无限长情形处理，即：。则有：
?t?t?t?t????e?mx，即：ln??t?t?0ts?t??s??hp???mx??x??Ac， ??tA?t?ln??t?t?s??tB?t?ln??因而对两个棒有：?ts?t???????????tA?t?ln??t?t?B，?B??A?s??A?tB?t?ln??t?t?s?????????，
?75?25?ln??ln?0.6666?0.4056100?25???B?200??14.14??14.14??9.123，ln?0.5333?0.6286?65?25?ln??100?25??
?B?83.2W?mK?
讨论：如果测得了A、B两棒不同x处具有相同得温度，也可据?A而得?B。
t?t?l?e?mx??1得前提下，x如上题设A=0.15m，xB=0.075m具有相同得温度，在d仍有：t0?t?，m?hp?AC。因为tA?xA??tB?xB?，故?A?xA???B?xB?，
?hp??hp???mAxA?mBxB，??A?xA???AC?AC??亦即
??xB??R，其中p，h，AC均相同，
??R???故有：?A?xB?xB??0.075?????????200????50W?mK?BA??x?x0.15??A，即??A?。
2-85 当把直径为d的金属柱体安置到温度为ts的等温壁面上去时，一般都假定金属柱体与基体交接处的温
度为ts。实际上，由于要向柱体传导热量，交接处（即肋根）的温度常要略低于离开肋根较远处的温度ts（设柱体周围的流体温度t?低于ts）。试：（1）定性的画出肋根附近（包括基体及柱体中的部分区域）的等温线分布；（2）定性地分析柱体与周围流体间的表面传热系数h及柱体导热系数?的大小对肋根处温度下降的影响；（3）如果把柱体看做是测定壁温的热电偶，由上述分析可以得到什么样的启示？设柱体与基体之间接触良好，不存在接触热阻（见附图）。 解：设稳态，无接触热阻。 (1)在固体表面上设置了一个固体圆柱后，圆柱根部温度会低于ts，这是因为加了圆柱体相当于增加了该处得散热量。其时圆柱根部温度得分布大致如图示：
22 (2)h越大，肋根处温度下降越明显；导热系数越大，温度下降越明显。
(3)热电偶热节点测定得温度值实际上已经偏离了未接触热电偶时该处温度之值，即存在着测温误差，要减少测温误差，因尽量减小沿热电偶导线的热量传递。
2-86有一冷却电子器件的散热器（长称热沉，heat sink）如附图所示，其中L为垂直于纸面方向的尺度。热沉底面温度为75℃。试计算：（1）肋片的效率；(2)肋面总效率；(3)该热沉能散发的热量。热沉的材料为铝，导热系数为180W(mK)。 解：
2-87有一用针肋构成的热沉用来使处于微腐蚀性环境中的发热表面维持在70℃，发热表面的尺寸为10cmx16cm。针肋的高度与直径分别为3cm与4.2cm，材料为不锈钢，导热系数为15W(mK)。在周围流体温度为20℃、考虑对流与辐射作用在内的表面传热系数为70W(mK)的条件下，试计算为散发80W的热量需要多少个针肋？ 解：
2小论文题目
2-88 为了测定CO2在微细管道内的对流传热表面传热系数，采用对实验管道直接通电加热的方法。假定电
?，管道的内外径分别为d与D，外表面绝热良好（见附图）流产生的热量所形成的内热源均匀分布，记为?，
通过管壁的导热可以作为一维问题处理。实验测得管外壁面温度为two(x)，试导出据测定的外表面温度
?two(x)及?确定官职内壁面温度twi(x)的计算式。
解：
2-89对于长方形截面的直肋片，试分析在一定的金属耗量下，为使肋片的散热量最大，肋片的H、?与?、
h之间应满足怎样的关系？（参见图2-15）。 解：
2-90 对于附图所示的圆截面直肋，设肋端（x=H）是绝热的。按本书的讨论，肋片中过余温度的分布满足
?(x)??0
在导出上式的几个假定条件下，试分析在一定的金属消耗量下，为使肋片的散热量达到最大，肋片几何尺寸H, d与其导热系数，表面传热系数之间应满足怎样的关系？设?,h均为常数。 解：按教材中式（2-38），有：
ch?m?x?H??m?ch?mH?hp?Ac?＝??d245m?0th?mH?122V?dH，则上式可f，直肋的体积正比于dH，令
24h??h?dth2Vfh?d2写为：（m已用?d代入）。
d??0V，?，hf按题意，均保持不变，则最佳直径应满足dd，由此得：
??0?312???????1212121???32??h???h??h???2?h???dth?2Vf?3???5Vf?4?sedh?2Vf?5?????02??d????d???d???????????2?
5512??th???sech2???????2Vh?df3令，可得下列超越方程：， 10?sh?2???3，由此解出：??0.919296，代入其定义式，可得最佳工况下直径应满足的关系式：或：
??012??dopt
?hH2?4.733????????。
第三章
思考题
1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点
答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数， 数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。
2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性?
答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。
?c??cvhA,形状
3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题 答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略 不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。如薄板两侧均匀加热或冷却、 炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。
4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点? 答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍 随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(x/?)和边界条件(Bi数)
的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。
5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是： 这个图表明,
物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。你是否同意这种看法,说明你的理由。 答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变 但各点温度的绝对值在无限接近。这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。
Bi?o及Bi??各代表什么样的换热条件?有人认为, Bi??代表了绝热工6. 试说明Bi数的物理意义。
况,你是否赞同这一观点,为什么?
答；Bi数是物体内外热阻之比的相对值。Bi?o时说明传热热阻主要在边界，内部温度趋于均匀，可以用集总参数法进行分析求解；Bi??时，说明传热热阻主要在内部，可以近似认为壁温就是流体温度。认为Bi?o代表绝热工况是不正确的，该工况是指边界热阻相对于内部热阻较大，而绝热工况下边界热阻无限大。
7. 什么是分非稳态导热问题的乘积解法,他的使用条件是什么?
答；对于二维或三维非稳态导热问题的解等于对应几个一维问题解的乘积，其解的形式是无量纲过余温度，这就是非稳态导热问题的乘积解法，其使用条件是恒温介质，第三类边 界条件或边界温度为定值、初始温度为常数的情况。
8.什么是”半无限大”的物体?半无限大物体的非稳态导热存在正规阶段吗?
答：所谓“半大限大”物体是指平面一侧空间无限延伸的物体：因为物体向纵深无限延 伸，初脸温度的影响永远不会消除，所以半死限大物体的非稳念导热不存在正规状况阶段。 9.冬天，72℃的铁与600℃的木材摸上去的感觉一样吗，为什么？
10.本章的讨论都是对物性为常数的情形作出的,对物性温度函数的情形,你认为怎样获得其非稳态导热的温度场?
2 答：从分析解形式可见，物体的无量纲过余温度是傅立叶数（??/l）的负指数函数，
即表示在相同尺寸及换热条件下，导温系数越大的物体到达指定温度所需的时间越短、这正 说明导温系数所代表的物理含义。
习题
基本概念及定性分析
3－1 设有五块厚30mm的无限大平板,各用银、铜、钢、玻璃及软木做成，初始温度均匀（200C）,两个侧面突然上升到600C，试计算使用中心温度上升到560C时各板所需的时间。五种材料的热扩散依次为170×10
6
2
－
2
－
2
－
2
－
2
－
m/s、103×106m/s，12.9×106m/s、0.59×106m/s及0.155×106m/s。由此计算你可以得出什么结论？
解：一维非稳态无限大平板内的温度分布如下函数关系式：
t?t0?x??f(Bi,Fo,)? ?0t??t0
不同材料的无限大平板，均处于第一类边界条件（即Bi??）。由题意知 材料达到同样工况式Bi数和x/?相同，要使温度分布相同，则只需Fo数相同
????)?()2122(Fo)?(Fo)??12 因此，，即，而?相等
( 故知 所以
?小所需时间大 ?铜??银??钢??玻璃??软木
?铜??银??钢??玻璃??软木。
3－2 设一根长为l的棒有均匀初温度t0,此后使其两端在恒定的t1（x＝0）及t2>t1>t0。棒的四周保持绝热。试画出棒中温度分布随时间变法的示意曲线及最终的温度分布曲线。
解：由于棒的四周保持绝热，因而此棒中的温度分布相当于厚为l的无限大平板中的分布，随时间而变化的情形定性的示于图中.
3－3 假设把汽轮机的汽缸壁及其外的绝热层近似地看成是两块整密接触的无限大平板（绝热层厚度大于汽缸壁）。试定性地画出汽缸机从冷态启动（即整个汽轮机均与环境处于热平衡）后，缸壁及绝热层中的温度分布随时间的变化。 解：
3－4 在一内部流动的对流换热试验中（见附图），用电阻加热器产生热量加热量管道内的流体，电加热功率为常数，管道可以当作平壁对待。试画出在非稳态加热过程中系统中的温度分布随时间的变化（包括电阻加热器，管壁及被加热的管内流体）。画出典型的四个时刻；初始状态（未开始加热时），稳定状态及两个中间状态。 解：如图所示：
传热学第四版课后习题答案（杨世铭-陶文铨）
