〔t?30.78〕??15.2??4???6541.67W11－0.250.3解得t＝53.62℃
2-26 附图所示储罐用厚为20mm的塑料制成，其导热系数
??1.5W/(m.K)，储罐内装满工业用油，油中
2安置了一电热器，使罐的内表面温度维持在400K。该储罐置于25℃的空气中，表面传热系数为10W/(m.K)。
r0?0.5m,l?2.0m。试确定所需的电加热功率。
2-27 人的眼睛在完成生物功能过程中生成的热量要 通过角膜散到周围环境中，其散热条件与是否带有隐性眼镜片有关，如附图所示，设角膜及隐性镜片均呈球状，且两者间接触良好，无接触热阻。角膜及镜片所张的中心角占了三分之一的球体。试确定在下列条件下不戴镜片及戴镜片时通过角膜的散热量：r1=10mm，
r2=12.5mm，r3=16.3mm，tfi＝37℃tf0?20℃， hi＝12W/(m2.K)，h0＝6W/(m2.K)，?1＝0.35 W/(m.K)，?2＝0.8 W/(m.K)。
R?解：不戴镜片
111?11???????hiAihoAo4??1??r1r2?
?t?0.109WR所以 1???o?0.0363W3有效热量 111?11?1??R?????hiAihoAo4??1?r1r2???4??2戴镜片时
?o??t?0.108WR所以
1???o?0.036W3即散热量为
?o??11???r?r??3??2
2-28 一储存液态气体的球形罐由薄金属板制成，直径为1.22m，其外包覆有厚为0.45m，导热系数为
2W/(m.K)。W/(m.K)0.043的软木保温层。液态气体温度为-62.2℃，与金属壳体间换热的表面传热系数为21
由于软木保温层的密闭性不好，大气中的水蒸气浸入软木层，并在一定深度范围内冻结成了冰。假设软木保
温层的导热系数不受水蒸气及所形成的冰层的影响，试确定软木保温层中冰层的深度。球形罐金属壳体的热阻可不计。在 实际运行中，因保温层的密闭性不好而在软木保温层中出现的水和冰，对球形罐的保温性能有何影响？
2-29 在一电子器件中有一晶体管可视为半径为0.1mm的半球热源，如附图所示。该晶体管被置于一块很大的硅基板中。硅基板一侧绝热，其余各面的温度均为t?。硅基板导热系数??120W/(m.K)。试导出硅基板中温度分布的表达式，并计算当晶体管发热量为??4W时晶体管表面的温度值。
提示：相对于0.1mm这样小的半径，硅基板的外表面可以视为半径趋于无穷大的球壳表面。 变截面变导热系数问题
2-30 一高为30cm的铝制圆台形锥台，顶面直径为8.2cm，底面直径为13cm.。底面及顶面温度各自均匀，并分别为520℃及20℃，锥台侧面绝热。试确定通过该锥形台的导热量。铝的导热系数为100W/(m.K)。
???A(x)?解：根据傅利叶导热公式得
dtdx
x0x?30?06.5得x0?51.23 因为：4.1
x0?dx6.5?4.1?rx30 得rx?0.41?0.082dx
代入数据积分得??1397W
2-31 试比较附图所示的三种一维导热问题的热流量大小：凸面锥台，圆柱，凹面锥台。比较的条件是d1,t1,t2及导热系数均相同。三种形状物体的直径与x轴的关系可统一为d?ax，其中a及n值如下： 凸面锥台 柱体 凹面锥台
a 0.506m 0.08m 20.24m n 0.5 0.0 1.5
1/2?1/2n
x1?25mm,x2?125mm。
??解：对于变截面导热 凸面锥台 柱体
??t1?t2??x2x1dxAx
?x2x1?x2x1x2dxx28n?42n?1?2xdx?320mAX＝?x1?a2
dxx24?1?2xdx?320.35mAX＝?x1?a2
x2dx164?2?x1AX?x1??20?24?2xdx?263.23m凹面锥台 ＝
?3??1??2由上分析得
2-32 某种平板材料厚25mm，两侧面分别维持在40℃及85℃。测得通过该平板的热流量为1.82km，导热面
2m积为0.2。试：
确定在此条件下平板的平均导热系数。 设平板材料导热系数按度范围内解：由
???0(1?bt)变化（其中t为局部温度）
。为了确定上述温
?0及b的计算式。
?0及b值，还需要补充测定什么量？给出此时确定
???A?补充测定中心位置的温度为
dtdx得??5W/(m.K)
t0
???A?又
dtdx
???0(1?bt)
t1?t2???x2?x1???0?t1?t2??1?b??A2?? （1） 所以
b?代入数据解得
4t0?2t2?2t1t1?2t0?t2 （2）
?0
22将（2）代入（1）得到
?(t)??0(1?bt)，t为局部温度，试导出圆柱中温度
2-33 一空心圆柱，在r?r1处t?t1，r?r2处t?t2。分布的表达式及导热量计算式。 解：导热微分方程式简化为
d?dt?dt??r??0?r?c1dr?dr?dr 即
所以
?0?1?bt?dt?c1b?dr?0t?0t2?c1lnr?c22r 即
b?02t1?c1lnr1?c2r?rt?t21处1即当在 （1）
b??0t2?0t22?c1lnr2?c2r?r2处t?t2 即2 （2）
?0t1?c1?两个式子联立得
?0?t1?t2??1??0?t1?t2??
?b?2lnr1r2??c2? （1）-（2）得
?0?t1?t2??1??0?t1?t2??lnr1??b2lnr1r2??br??0?t1?t2???0t12?t22?c1ln??1r?2?2??
? （3）
?ln?r.r1??lnr1r2
将c1,c2代入（3）得温度表达式
?0t??0t2??0?t1?t2??1??0?t1?t2??
b2??b2q???由傅利叶公式
dtdx
q??得
c1??r?0?t1?t2??1??0?t1?t2??
b2r?r.ln??1r??2?????2-34 设一平板厚为?，其两侧表面分别维持在温度t1及t2。在此温度范围内平板的局部导热系数可以用直线
0关系式来表示。试导出计算平板中某处当地热流密度的表达式，并对b>0,b=0及b<0的三
种情况画出温度分布的示意曲线。
?(t)??(1?bt)2-35 一圆筒体的内外半径分别为表达式。
ri及
r0，相应的壁温为
ti及
t0，其导热系数与温度关系可表示为
?(t)??0(1?bt)的形式，式中?及t均为局部值。试导出计算单位长度上导热热流量的表达式及导热热阻的
2-36 q=1000W/m的热流沿x方向穿过厚为20mm的平板（见附图）。已知x=0mm,10mm,20mm处的温度分别为100℃，60℃及40℃。试据此确定材料导热系数表达式
2???0(1?b)（t为平均温度）中的?0及b。
t?解：x=0mm,x=10mm处的平均温度又
100?60?802℃
???0(1?b) 所以热量1000?q??0?1?80b???t1?t2??
0.02即
同理x=10mm,x=20mm处得
?100?60? （1）
1000???0?1?50b?
联立得b=-0.009
?60?40?0.02 （2）
?0?0.687
2-37 设某种材料的局部导热系数按内热源的平板，试：
?(t)??0(1?bt)的关系式来变化，对于由该材料做成的一块厚为?的无
导出利用两侧面温度t1(x?0),t2(x??)计算导热量的公式； 证明下列关系式成立：
???12x?2??22??1
其中?1?2为相应于t1t2的导热系数，?为x处的导热系数。
导出平板中温度沿x方向变化的下列两个公式：
1?2x22?t(x)??????1??1?2?b??0
21??2qx1t(x)???t1????0b?b???1/2?1b
2-38一厚δ的平壁，两侧面分别维持在恒定的温度t1、t2。平壁的导热系数是温度的函数：λ（t）=λ0（1+βt2）。试对稳态导热给出热流密度的计算式。 解：
一维有内热源的导热
2-39 试建立具有内热源??x?，变截面，变导热系数的一维稳态导热问题的温度场微分方程式（参考附图）。 解：一维代入微分方程式为
2-40 试由导热微分方程出发，导出通过有内热源的空心柱体的稳态导热热量计算式及壁中的温度分布。?为常数。
解：有内热源空心圆柱体导热系数为常数的导热微分方程式为
d??dt?????Ax??x?????x??0dx??dx???
经过积分得
1???t????r????0r?r??r?
2t?c1lnr?c2?r因为所以得
?r?r?r0,t?tw;r?0,t?t0?
对其求导得
?r3/??r3/???r3t0?tw??t0?tw??00t?lnr?t0??lnr0?1lnr0?1?
2-41确定附图所示氧化铀燃燃料棒的最大热功率。已知：氧化铀燃料棒的最高温度不能高于1600℃，冷却水平均温度为110℃，表面传热系数为12000W/(㎡·K)，氧化铀燃料棒与包覆它的锆锡合金层间的接触热阻为2.22×10-4㎡·K/W。包覆层的内外半径为6.1㎜及6.5㎜，氧化铀燃料棒和锆锡合金的导热系数分别为7.9W/(m·K)、14.2W/(m·K)。 解：
2-42 一具有内热源?外径为0的实心圆柱，向四周温度为t?的环境散热，表面传热系数为h。试列出圆柱体中稳态温度场的微分方程式及边界条件，并对?为常数的情形进行求解。 解：利用2-33题的结果立即可得温度场应满足的微分方程为：
rddt?(r)?0()?r?drdr（设?为常数），
dtdtr?0，?0；r?r0，???h(t?tf)。drdr其边界条件为：
dtr?h(t?tf)。?dr对于?为常数的情形，积分一次得：
?r2?dtt?c1lnr??c2?04?再积分一次得： 由r=0，dr，得c1?0；
???r2??r0?dt???h(t?tf)，得?h???c2?tf?dr2??4??， 由r?r0，
???r02??r0?r0?c2????tf2h4?2h由此得：。
AC2-43 在一厚为2b，截面积为
的金属薄条中有电流通过。金属条置于不导电的沸腾液体中。设沸腾换热表
2I2?b2/3?AC2??.m/m）面传热系数是均匀的，金属条的电阻率为（单位为，导热系数为?〔单位为W/(m.K)〕，物性
为常数。试证明该金属条的截面平均温度要比表面温度高2-44 一半径为的实心圆柱，内热源为
体中的温度分布。
??。金属条的端部散热不予考虑。
r?r0处
r0?(r)???(1?Ar)?0，
??0,A为常数。在
t?t0。试导出圆柱
1???t????r????0r?r??r?解： (1) dt?0dxr=0, (2) r?r0,t?t0 (3)
三式联立最终可解得
??23t?0qr0?r2?4Ar0?r3?t036
?，X=0及X=?处的表面分别与温度为tf1,tf2的流体进行对流换2-45 一厚为?的大平板具有均匀内热源???????热，表面传热系数分别为h1及h2。试导出平板中温度分布的解析表达式，并据此导出温度最高点的位置。对于h1=h2,tf1＝
tf2及
h1?h2,tf2?tf1的情形定性地画出平板中的温度分布曲线。
?＝0.3?106W/m3。对2-46 一厚为7cm的平壁，一侧绝热，另一侧暴露于温度为30℃的流体中，内热源?2W/(m.K)，平壁的导热系数为18W/(m.K)。试确定平壁中的最高温度及其位流换热表面传热系数为450
置。
?????0e??2-47 核反应堆的辐射防护壁因受?射线的照射而发热，这相当于防护壁内有的内热源，其中0是X=0的表面上的发热率，a为已知常数。已知x=0处t=t1,x=?处t=t2,试导出该防护壁中温度分布的表达
?ax式及最高温度的所在位置。导热系数?为常数。 解：由题意导热微分方程
d2t??ax?2??0e?0dx
传热学第四版课后习题答案（杨世铭-陶文铨）
