第12讲 函数模型及其应用
课时达标
一、选择题
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x－50x＋100 C．y＝50×2 D．y＝100log2x＋100
C 解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确．
2．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0,10
0.007 5
2
x≈1.017)( )
B．1.6% D．1.8%
A．1.5% C．1.7%
C 解析 设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，lg 2则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x40＝1.017，所以x＝1.7%.
3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的纳税额??部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例?缴税比例＝?为(p＋0.25)%，则该公年收入??司的年收入是( )
A．560万元 C．350万元
B．420万元 D．320万元
D 解析 设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则根据题意，可以得到y＝
??x×p%，x≤280，
?
?280×p%＋x－280?
×p＋2%，x>280，
1
依题意有[280×p%＋(x－280)×(p＋2)%]
x＝(p＋0.25)%，解得x＝320.
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长
x，y应为( )
1
A．x＝15，y＝12 C．x＝14，y＝10
B．x＝12，y＝15 D．x＝10，y＝14
24－yx552
A 解析 由三角形相似得＝得x＝(24－y)，所以S＝xy＝－(y－12)＋180，
24－82044所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．
5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
A 解析 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×(1＋x)，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)＝m2
4
22
m＋8a，因为y21－y2＝(m＋4a)
8
－m(m＋8a)＝16a>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )
A．3 000元 C．3 500元
B．3 300元 D．4 000元
B 解析 由题意，设利润为y元，租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－
x)≤50×?
?58＋x＋70－x?2，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定
?2??
为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润．故选B.
二、填空题
7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
2
kt解析 当t＝0.5时，y＝2，所以2＝e，所以k＝2ln 2，所以y＝e
2＝e
10ln 2
k2tln 2
，当t＝5时，y＝2＝1 024.
10
答案 1 024
8．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
解析 由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝10，同理5级地震最大振幅A5＝10，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．
答案 6 10 000
9．某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝
76 000v.
v＋18v＋20l2
2
6
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时． 解析 (1)当l＝6.05时，F＝
76 000v76 000v＝2＝
v＋18v＋20×6.05v＋18v＋121
2
76 000121v＋＋18
v≤2
76 000121
＝1 900，当且仅当v＝，即v＝11时，等号成立．所以最大车流量Fv121
v·＋18
v为1 900辆/小时．
(2)当l＝5时，F＝
76 000v76 000
＝，所以F≤
v＋18v＋20×5100
v＋＋1822
v76 000
＝2 000，
100v·＋18
v当且仅当v＝10时，等号成立．所以最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/小时．
答案 (1)1 900 (2)100 三、解答题
10．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值．
3
解析 (1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝EQEFx－44
，所以＝，
PQFD8－y2
1
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
2
x?1?2
(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x?10－?＝－(x－10)＋50，所以S(x)是
2?2?
关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x＝10，所以当x∈[4,8]，S(x)单调递增，所以当x＝8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．
11．(2024·会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定： ①年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；
②年销售额x (单位：万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)若某营销人员争取奖金y∈[4,10] (单位：万元)，则年销售额x (单位：万元)在什么范围内？
??loga8＝3，
解析 (1)依题意，y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，所以?
?loga64＝6，?
解得a＝2，
0，0≤x<8，
??logx，8≤x≤64，
所以y＝?
1??10x，x>64.
2
(2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4,10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4,10]，则40≤x≤100，所以64 4 12．根据市场调查，某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示，销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(t∈N)． * (1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P＝f(t)，图2表示的销售量与时间的函数关系Q＝g(t)(不要求计算过程)； (2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间． t??＋11，t∈[1，20，t∈N*， 解析 (1)P＝f(t)＝?2 ??－t＋41，t∈[20，40]，t∈N*，t43 Q＝g(t)＝－＋，t∈[1,40]，t∈N*. 3 3 1?21?24 225?t??t43?* (2)当1≤t＜20时，S＝?＋11??－＋?＝－?t－?＋.因为t∈N，所以t＝ 2?6?24?2??33?10或11时，Smax＝176. 1 763?t43?12 当20≤t≤40时，S＝(－t＋41)?－＋?＝t－28t＋为减函数；当t＝20时， 3?33?3 Smax＝161.而161＜176，所以当t＝10或11时，Smax＝176. 故当t＝10或11时，这种商品的销售额S最大，为176. 13．[选做题](2024·广州检测)某旅游景点预计2024年1月份起前x个月的旅游人数1* 的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似为p(x)＝x(x＋1)·(39－2x)(x∈N，且x≤12)．已 2知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的关系近似是q(x)＝35－2x，x∈N，且1≤x≤6，???160* ，x∈N，且7≤x≤12.??x* (1)写出2024年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式； (2)试问2024年第几个月的旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？ 解析 (1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N时， * f(x)＝p(x)－p(x－1)＝x(x＋1)(39－2x)－x(x－1)·(41－2x)＝－3x2＋40x，经验 证x＝1时也满足此式， 所以f(x)＝－3x＋40x(x∈N，且1≤x≤12)． (2)第x(x∈N)个月的旅游消费总额为 * 2 * 1 212 5
2024版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数模型及其应用课时达标文含解析新人教A版
