交大附属中学“华约”自主招生强化训练四
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U，集合A?B?U,则有( )
A．A?B?B B．A?B?A
C．(CUA)?(CUB)?CUB D．(CUA)?(CUB)?CUB 2.已知命题p:?x?R,x2?x?2?0，则命题?p是（ ）
A．?x?R,x2?x?2?0 B．?x?R,x2?x?2?0 C．?x?R,x2?x?2?0 D．?x?R,x2?x?2?0
????3.若平面向量a?(1,x)和b?(2x?3,?x)互相平行，其中x?R，则a?b?（ ）
A．25 B．2或25 C．－2或0 D．2或10
4.设a、b为两条不同的直线，?、?为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ）
A．若a、b与?所成的角相等，则a//b B．若???，m//?，则m?? C．若a??，a//?，则??? D．若a//?，b//?，则a//b
?1x?()(x?3)5.已知f(x)??2，则f(log23)的值是（ ）
??f(x?1)(x?3)A．
11 B． C．24 D．12 122426.若直线y?x?k与曲线x?1?y恰有一个公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k??2 B．?2,?????,?2?
????C．?2,2 D．k??2或??1,1?
7.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H．设四面体
??EFGH的表面积为T，则
T等于（ ） S1411A． B． C． D．
9943
8.若当x??1,3?时，不等式a?sinx?6x?a?0,a?1?恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．?0,? B．?0,? C．?,1? D?,1???1,???．
?2??2??2??2?9.数列?an?满足下列条件：且对于任意的正整数n，恒有a2n?an?n，（ ） a1?1，a512?A．128 B．256 C．512 D．1024 10.若函数f(x)?loga(x3?ax)(a?0,a?1)在区间??是（ ）
A．?,1? B．?,1? C．??1??1??1??1??1?,0?内单调递增，则a的取值范围?2??1??4??3??4??9??9?,??? D．?1,? ?4??4?
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分．
11．在?ABC中，已知A?60，为使此三角形只有一个，则a的取值范围为 ． b?43，o12．计算
?101?x2dx＝ ．
13．在数列?an?中，已知a1?1，an?an?1?an?2???a2?a1(n?N*,n?2)，则这个数列的通项公式是 ．
14．直线l经过A(2,1)，B(1,a2)(a?R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 ． 15．如图，??l??为60的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P在l上，M??,N??，且MP和NP与l所成 的角相等，则MN与?所成角为 ．
lo?MPN?三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 如图，?ABC中，?B?（Ⅰ）若??2?，AC?2，?A??，设?ABC的面积为f(?)． 3?12B，求AB的长；
2?3（Ⅱ）求f(?)的解析式，并求f(?)的单调区间．
17．（本小题满分12分）
A?C
某跳小运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），最高处距水面102m，3入水处距池边的距离为4m．在某次跳水时，要求该运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误． yA（Ⅰ）求这条抛物线的解析式； 3m（Ⅱ）该运动员按（Ⅰ）中抛物线运行，要使此次跳水 xO不至于失误，那么运动员在空中调整好入水姿势 时，距池边的水平距离至多为多少米？ 跳 10m台支
柱
1m
池边
18．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD?A'B'C'D'中，底面ABCD为梯形，BC//AD，
BAA'?AB?2，AD?2BC?2，直线AD与面ABB'A'所成角为45o．
（Ⅰ）求证：DB?面ABB'A'； （Ⅱ）求证：AD'?B'C；
（Ⅲ）求二面角D?AB'?B的正切值．
19．（本小题满分12分）
22DD'CABC'A'B'?B，将圆x?y?2x?4y?0按向量a?(?1,2)平移后得到圆O，直线l与圆O相交于A、?????????????若在圆O上存在点C，使OC?OA?OB??a，求直线l的方程及对应的点C坐标．
20．（本小题满分13分）
已知数列?an?满足：a1?3，an?1?3an?2，n?N*． an（Ⅰ）证明数列??an?1??为等比数列，并求数列?an?的通项公式；
?an?2?（Ⅱ）设bn?an(an?1?2)，数列?bn?的前n项和为Sn，求证：Sn?2．
21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?2x2?ax，g(x)?lnx，F(x)?f(x)?g(x)． （Ⅰ）若F(x)在x?1处取得极小值，求F(x)的极大值； （Ⅱ）若F(x)在区间(0,)上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a?3，问是否存在与曲线y?f(x)和y?g(x)都相切的直线？若存在，判断有几条？并加以证明，若不存在，说明理由．
14参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．） 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 A 8 B 9 C 10 B
二、填空题（本大题5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在横线上．） 11．a|a?6或a?43 ； 12．
??(n?1)?1? ； 13．an??n?2 ； 4(n?2)?214．?0,??????? ； 15． ?,????642????三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）?C??3??12??4，由正弦定理知：
ABAC? sinCsinB ∴AB?AC?4?26 2?3sin3sin?sin(??)ABAC43?3? （Ⅱ）由正弦定理知：， ∴AB?AC??sin(??)
2?sinCsinB33sin3∴f(?)?S?ABC???143?AB?AC?sinA?sin?sin(??)，(0???)
3233∴f(?)?43?4331sin?sin(??)?sin?(cos??sin?) 33322 ?2s?in?c?os332323??sin??2?3333si?n2?
(1cos2) ?sin?2?又0???由
3c?os?23?3 ?si?n(2?63)?3，∴
?62?2???6?5? 6，由
?6?2???6??得0????6?2?2???6?5???得??? 663∴f(?)在区间?0,????6??上是增函数，在区间?????,?上是减函数． ?63?17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B．
抛物线的解析式为y?ax?bx?c．
由题意知：O、B两点的坐标依次为(0,0)、(2,?10)，且顶点A的纵坐标为
22，3
交大附属中学“华约”自主招生强化训练试题四
