第二章习题
习题 设随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
式中，?是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(?=0)=，P(?=?/2)= 试求E[X(t)]和RX(0,1)。
解：E[X(t)]=P(?=0)2cos(2?t)+P(?=/2)2cos(2?t??2)=cos(2?t)?sin2?t
cos?t
习题 设一个随机过程X(t)可以表示成：
X(t)?2cos(2?t??), ???t??
…
判断它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：为功率信号。
RX(?)?limT??1T/2?T/2X(t)X(t??)dtT?1/2?limT???T?T/22cos(2?t??)*2cos?2?(t??)???dtT?2cos(2??)?ej2?t?e?j2?t
?j2?f?j2?tP(f)???d?????e?j2?t)e?j2?f?d???RX(?)e??(e
??(f?1)??(f?1)
习题 设有一信号可表示为：
4exp(?t) ,t?0X(t)?{
0, t<0试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为： ~
?j?t???t?j?t???(1?j?)tX(?)????x(t)edt?4eedt?4dt????0?0e4
1?j?4162?则能量谱密度 G(f)=X(f)= 221?j?1?4?f2
习题 X(t)=x1cos2?t?x2sin2?t，它是一个随机过程，其中x1和x2是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为?2。试求：
(1)E[X(t)]，E[X2(t)]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)RX(t1,t2)
解：(1)E?X?t???E?x1cos2?t?x2sin2?t??cos2?t?E?x1?sin2?t?E?x2???0
PX(f)因为x1和x2相互独立，所以E?x1x2??E?x1??E?x2?。
2??2。 又因为E?x1??E?x2??0，?2?Ex12?E2?x1?，所以Ex12?Ex2??????故 EX2?t???cos22?t?sin22?t??2??2
(2)因为x1和x2服从高斯分布，X?t?是x1和x2的线性组合，所以X?t?也服从高斯分布，其概率分布函数p?x??…
??
(3)RX?t1,t2??E?X?t1?X?t2???E?(x1cos2?t1?x2sin2?t1)?x1cos2?t2?x2sin2?t2?? ??2?cos2?t1cos2?t2?sin2?t1sin2?t2? ??2cos2??t2?t1?
习题 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件： (1)??f??cos22?f； (2)a???f?a?； (3)exp?a?f以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题 试求X(t)=Acos?t的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。 解：R(t，t+?)=E[X(t)X(t+?)] =E?Acos?t*Acos(?t??)? 、
12A2?AE?cos???cos?(2t??)??cos???R(?)
22A2功率P=R(0)=
2
习题 设X1?t?和X2?t?是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别为
RX1???和RX2???。试求其乘积X(t)=X1(t)X2(t)的自相关函数。
2?z2??。 exp??2??2???2??1?
解：根据功率谱密度P(f)的性质：①P(f)?0，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。可
解：
(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[X1(t)X2(t)X1(t??)X2(t??)]
=E?X1(t)X1(t??)?E?X2(t)X2(t??)?=RX1(?)RX2(?)
习题 设随机过程X(t)=m(t)cos?t，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZPX(f)?? 0,其它?(1)试画出自相关函数RX(?)的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度PX(f)和功率P。
…
?1??, ?1???0?0???1 解：(1)Rx?????1???0,其它?其波形如图2-1所示。
（
Rx???12
1 0 1 ? 图2-1信号波形图
(2)因为X(t)广义平稳，所以其功率谱密度PX????RX???。由图2-8可见，RX???的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
Px????11???????????0???????0???Sa2??1?2?2?2????Sa???2????0??1?????0??Sa2?4??2
2????1P?2?
????Px???d??11,或S?Rx?0?? 22sin?f。试求此信号的自相关函数?f2
习题设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =
，
。
2sin?f解：x(t)的能量谱密度为G(f)=X(f)=
?f?1??, ?1???0?j2?f?G(f)edf?0???1 其自相关函数RX????????1?????0,其它?
习题 已知噪声n?t?的自相关函数Rn????k-k?e，k为常数。 2(1)试求其功率谱密度函数Pn?f?和功率P；(2)画出Rn???和Pn?f?的曲线。 解：(1)Pn(f)??????Rn(?)e?j??d???????k?k??j??k2eed??2 2k?(2?f)2 P?Rn?0??k2
(2)Rn(?)和Pn?f?的曲线如图2-2所示。
习题 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：
Rn??? 1 ?Pn?f?k20 ?0 图2-2
fR(?)?1??, ?1???1
试求X(t)的功率谱密度PX(f)并画出其曲线。 (
解：详见例2-12
习题 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为
?10?4f2,?10 kHZ?f?10 kHZ PX(f)??0,其它?试求其平均功率。
解：P??
????PX(f)df?2?10*1030f310fdf?2*10*342?410402?*108 3?e?t/?,t?0习题 设输入信号x(t)?? ，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤
?0,t?0波器（见图2-3）上，RC＝。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
输入信号的傅里叶变换为
%
H(f)=X(t)?2cos(2?t??), ???t??
X(f)=
11??1?j2?f?
?输出信号y(t)的能量谱密度为
22?j2?f?C R Gy(f)?Y(f)?X(f)H(f)?(R?R?1j2?fC)(1?1j2?f?)
图2-3RC 高通滤波器
习题 设有一周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=??dx(t)/dt?式中，?为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).
解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=?*j2?f*X(f),所以H(f)=Y(f)/X(f)=j2?f?
习题 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率
'
谱密度为
n0的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。 2解：参考例2-10
习题 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为
n0的高斯白噪声时，试求 2(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 2L C H(f)=
j2?fC2j2?fC?j2?fL?11?4?2f2LC
图2-4LC低通滤波器
￥
n01
221??LCCnC对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为R0(?)?0exp(??)
4LL输出过程的功率谱密度为P0(?)?Pi(?)H(?)?2(2) 输出亦是高斯过程，因此 ?2?R0(0)?R0(?)?R0(0)?
习题若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为
n0 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。 2Cn0 4L解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由题可知E(y(t))=0 ,
?y2?R0(0)?n0 4RC所以输出噪声的概率密度函数
py(x)?12x2RCexp(?)
n?n002RC
]
习题设随机过程?(t)可表示成?(t)?2cos(2?t??)，式中?是一个离散随变量，且
p(??0)?1/2、p(???/2)?1/2，试求E[?(1)]及R?(0,1)。
解：E[?(1)]?1/2*2cos(2??0)?1/2*2cos(2???/2)?1;
R?(0,1)?E[?(0)?(1)]?1/2*2cos(0)2cos(2??0)?1/2*cos(?/2)2cos(2???/2)?2习题设
Z(t)?X1cosw0t?X2sinw0t是一随机过程，若
X1和
X2
是彼此独立且具有
2?均值为 0、方差为的正态随机变量，试求： 2E[Z(t)]； E[Z(t)]（1）、
（2）Z(t)的一维分布密度函数f(z)； （3）
B(t1,t2)和
R(t1,t2)。
解： （1）
E[Z(t)]?E[X1cosw0t?X2sinw0t]?cosw0tE[X1]?sinw0tE[X2]?0《
X1
因为
和
X2是彼此独立的正态随机变量，
X1和
X2是彼此互不相关，所以
E[X1X2]?0E[Z2(t)]?E[X12cos2w0t?X22sin2w0t]?cos2w0tE[X12]?sin2w0tE[X22]
E[X1]?0D(X1)?E[X12]?E[X22]??2?E[X12]??2又;
同理
E[X22]??2
22E[Z(t)]??代入可得
（2）
22E[Z(t)]??E[Z(t)]由=0； 又因为Z(t)是高斯分布
1z2f[Z(t)]?exp(?2)22? 2??可得 D[Z(t)]??
(3)
B(t1,t2)?R(t1,t2)?E[Z(t1)]E[Z(t2)]?R(t1,t2)
：
?E[(X1cosw0t1?X2sinw0t1)(X1cosw0t2?X2sinw0t2)]
?E[(X12cosw0t1cosw0t2?X22sinw0t1sinw0t2)]??2cosw0(t1?t2)??2cosw0?令
t1?t2??
习题求乘积Z(t)?X(t)Y(t)的自相关函数。已知X(t)与Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为解：
Rx(?)、
Ry(?)。
因X(t)与Y(t)是统计独立，故 E[XY]?E[X]E[Y]
RZ(?)?E[Z(t)Z(t??)]?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)] ?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)
习题若随机过程
Z(t)?m(t)cos(w0t??)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数
?1??,?1???0?Rm(?)??1??,0???1?0,其它Rm(?)?为 ?是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统
计独立。
（1） 证明Z(t)是宽平稳的；
!
R(?)（2） 绘出自相关函数Z的波形； （3） 求功率谱密度
解：
（1）Z(t)是宽平稳的?E[Z(t)]为常数；
E[Z(t)]?E[m(t)cos(w0t??)]?E[m(t)]E[cos(w0t??)]PZ(w)及功率S 。
RZ(t1,t2)?E[Z(t1)Z(t2)]?E[m(t1)cos(w0t1??)m(t2)cos(w0t2??)]01?[2?2??cos(wt??)d?]E[Z(t)]?00
?E[m(t1)m(t2)]E[cos(w0t1??)cos(w0t2??)]E[m(t1)m(t2)]?Rm(t2?t1)
只与
t2?t1??有关：
令
；
t2?t1??
E{cos(w0t1??)cos[w0(t1??)??]}
?cosw0?*E[cos2(w0t1??)]?sinw0?*E[cos(w0t1??)sin(w0t1??)]1?cosw0?*E{[1?cos2(w0t1??)]}?02 1?cos(w0?)2
1RZ(t1,t2)?cos(w0?)*Rm(?)2所以只与?有关，证毕。
E{cos(w0t1??)[cos(w0t1??)cosw0??sin(w0t1??)sinw0?}
（2）波形略；
?1?2(1??)cos(w0?),?1???0?1?1RZ(?)?cos(w0?)*Rm(?)??(1??)cos(w0?),0???12?20,其它???
PZ(w)?RZ(?)
!
而
RZ(?)的波形为
可以对
Rm(?)求两次导数，再利用付氏变换的性质求出
Rm(?)的付氏变换。
Rm''(?)??(??1)?2?(?)??(??1)?Pm(w)?sin(w/2)w?Sa2()w/22
w?w0w?w01?PZ(w)?[Sa2()?Sa2()]422
功率S：
S?RZ(0)?1/2
Rn(?)?aexp(?a?)P(w)2，a为常数： 求n和S；
习题已知噪声n(t)的自相关函数
解：
因为
exp(?a?)?2aw2?a2
aa2Rn(?)?exp(?a?)?Pn(w)?222w?a所以
S?R(0)??
a2
习题?(t)是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数
R(?)?1??。试求?(t)的功率谱密度
P?(w) 。
wR(?)?1???Sa2()2 解：见第2. 4 题
因为
?T(t)??n????(t?2n)? 所以
?(t)?R(?)*?T(t)
据付氏变换的性质可得
?P?(w)?PR(w)F?(w)?而
?T(t)??n????(t?2n)???n????(w?n?)??2w2w?n?P(w)?P(w)F(w)?Sa()*??(w?n?)?Sa()*??n????n????(w?n?)?R?22故
习题将一个均值为 0，功率谱密度为为
wcn0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为
、带宽为B的理想带通滤波器上，如图
（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数；
%
（2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。 解： （1）
Po(w)?H(w)Pi(w)?2n0H(w)2
,故
G2B?(w)?BSa(B??)?因为w0又
G2w0(w)?Sa(w0?)
H(w)?G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)]
?(w?wc)??(w?wc)?1?cos(wc?)
1F1(w)*F2(w)2?
由 付氏变换的性质 可得
f1(t)f2(t)?n0nH(w)?0G2B?(w)*[?(w?wc)??(w?wc)22?R(?)?n0BSa(B??)cos(wc?)Po(w)?—
E[?o(t)]?0
（2）；
R(0)?E[?02(t)]?Bn0；
R(?)?E2[?o(t)]?0所以
?2?R(0)?R(?)?Bn0
又因为输出噪声分布为高斯分布
可得输出噪声分布函数为
1t2f[?0(t)]?exp(?)2Bn02?Bn0
习题设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为输出过程的功率谱密度和自相关函数。
解：
11jwCH(w)??1jwRC?1R?jwC
n0/2的白噪声时，
(1)
PO(w)?Pi(w)H(w)?2n01*21?(wRC)2
(2) 因为
{
所以
exp(?a?)?2aw2?a2
po(w)??n0n01*?R(?)?exp(?)O22(wRC)?14RCRC
n0/2习题将均值为0，功率谱密度为
高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，
（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。
RR?jwL
2解：
H(w)?
R?n0n0R2Po(w)?Pi(w)H(w)?*2?R(?)?exp(?)O22R?(wL)4LL (1)
(2)
E[n0(t)]?0；
?2?R(0)?R(?)?R(0)?n0R4L
Tb习题设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为，脉冲幅度取
?1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：
！
?0,??Tb?R?(t)????1??/Tb,??Tb（1） 自相关函数
（2） 功率谱密度
解： （1）
2P?(w)?Tb[Sa(?fTb)]。
R?(?)?E[?(t)?(t??)]
R?(?)①当②当
??Tb??Tb时，?(t)与?(t??)无关，故
=0
2Tb时，因脉冲幅度取?1的概率相等，所以在
内，该波形取-1
1-1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为4。
（A） 波形取-1-1、11 时，
1R(?)?E[?(t)?(t??)]?*1?1/4?Tb4在图示的一个间隔内，
（B） 波形取-1 1、1 -1 时，
{
1T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?*(b?)Tb4TbTb 在图示的一个间隔内，
?11T???R?(?)?E[?(t)?(t??)]?2*?2*(b?)?1???Tb44TbTbTb 当时，
故
（2）
??0,??TbR?(t)????1??/Tb,??Tb
面积。所以
R?(?)?p?(w)?TbSa2(wTb)2。
?A?2w?A?Sa()24,其中2为时域波形的
习题有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，?(t)是平稳的，求与
?1(t)?2(t)的互功率谱密度的表示式。
（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶变换解：
??对）
?1(t)???(t??)h1(?)d?00
·
R12(t1,t1??)?E[?1(t1)?2(t1??)]??2(t)???(t??)h2(?)d?
??E[??(t1??)h1(?)d???(t1????)h2(?)d?]00?????h1(?)h2(?)R?(?????)d?d?00
????所以
P12(w)????R12(?)e?jw?d?????d????jw?d?[h(?)h(?)R(?????)ed???12???'?令??????
??jw???jw?P12(w)??h(?)e0d??h(?)e0d??[R?(?')e?jw?d?'?H1*(w)H2(w)P?(w)??'
习题若?(t)是平稳随机过程，自相关函数为函数及功率谱密度。
解：
R?(?)，试求它通过系统后的自相关
1/2h(t)??(t)??(t?T)?H(w)?1?e?jwT H(w)?(2?2coswT)
?jwTjwTP(w)?2P(w)?2coswT*P(w)?2P(w)?(e?e)PO????(w) \\
?2R?(?)?R?(??T)?R?(??T)
PO(w)?H(w)P?(w)?2(1?coswT)P?(w)2
习题若通过题的低通滤波器的随机过程是均值为 0，功率谱密度为噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。
解：
E[n0(t)]?0n0/2的高斯白
;
?n0n0n012*?R(?)?exp(?)???021?(wRC)24RCRC4RC
又因为输出过程为高斯过程，所以其一维概率密度函数为
P0(w)?1x2f[x]?exp(?2)2? 2??
，
第三章习题
习题 设一个载波的表达式为c(t)?5cos1000?t，基带调制信号的表达式为：m(t)=1+cos200?t。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解： s?t??m?t?c?t???1?cos200?t?5cos?1000?t?
?5cos1000?t?5cos200?tcos1000?t 由傅里叶变换得
?5cos1000?t? 5?cos1200?t?cos800?t?2S?f??5???f?500????f?500???5???f?600????f?600???24
5???f?400????f?400??4已调信号的频谱如图3-1所示。
! 52 54
－600－500－400
S(f) 0 0
图3-1 习题图
]
习题 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少 解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2，上、下边带的振幅均为5/4。
习题 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。
解：由题意，已知fm=2kHZ，?f=5kHZ，则调制指数为
mf??f5??2.5 fm2已调信号带宽为 B?2(?f?fm)?2(5?2)?14 kHZ
。
习题 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之和最
大等于载波频率的一半。
证明：设基带调制信号为m'(t)，载波为c(t)=Acos?0t，则经调幅后，有
'sAM(t)???1?m(t)??Acos?0t
2'22?(t)??1?m(t)Acos?0t 已调信号的频率 PAM?sAM??2 A2cos2?0t?m'2(t)A2cos2?0t?2m'(t)A2cos2?0t
因为调制信号为余弦波，设
B?2(1?mf)fm?f?1000 kHZ?100''2，故
m21m(t)?0, m(t)??
22A2则：载波频率为 Pc?Acos?0t?
222m'2(t)A2A2?边带频率为 Ps?m(t)Acos?0t? 24'222因此
—
Ps1?。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。 Pc2习题 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换为卷积关系：Z()=X()*Y()。
证明：根据傅立叶变换关系，有 F?1?X????Y?????12??1?????2????j?t????XuY??udued? ???????变换积分顺序:F-1?X????Y????? ?12??????X?u?1????ej?tu ??Y??ud???????2????1??jut1?j?t????XueY?ed??du ???????2???2??1??jut???Xuey?t?du 2????
?x?t?y?t?又因为 z?t??x?t?y?t??F-1?Z???? 则 F?1?Z?????F-1?X????Y???? 即 Z????X????Y???
…
习题 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ，振幅等于1V。它对频率为10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rad。试计算次相位调制信号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为5kHZ，试求其带宽。
解：由题意，fm?10 kHZ , Am?1 V 最大相移为 ?max?10 rad 瞬时相位偏移为?(t)?kpm(t)，则kp?10。 瞬时角频率偏移为d
d?(t)?kp?msin?mt则最大角频偏???kp?m。 dt因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调制指数 mf????m?kp?m?m?kp?10
因此，此相位调制信号的近似带宽为
B?2(1?mf)fm?2(1?10)*10?220 kHZ
若fm=5kHZ，则带宽为
B?2(1?mf)fm?2(1?10)*5?110 kHZ
[
习题 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频移为1mHZ。试求此频率调制信号的近似带宽。
解：由题意，最大调制频移?f?1000 kHZ，则调制指数mf?故此频率调制信号的近似带宽为
s(t)?10cos(2?*106t?10cos2?*103t)
?f?1000/10?100 fm
习题设角度调制信号的表达式为s(t)?10cos(2?*106t?10cos2?*103t)。试求：
（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带宽。
解：（1）该角波的瞬时角频率为
?(t)?2*106??2000?sin2000?t
·
故最大频偏 ?f?10*2000??10 kHZ
2??f103（2）调频指数 mf??10*3?10
fm10故已调信号的最大相移???10 rad。
（3）因为FM波与PM波的带宽形式相同，即BFM?2(1?mf)fm，所以已调信号的带宽为
B=2(10+1)*103?22 kHZ
习题 已知调制信号 m(t)=cos(2000πt)+cos(4000πt)，载波为cos104πt，进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。
解：
方法一：若要确定单边带信号，须先求得m(t)的希尔伯特变换
m’（t）=cos（2000πt-π/2）+cos（4000πt-π/2） =sin（2000πt）+sin（4000πt） 故上边带信号为
SUSB(t)=1/2m(t) coswct-1/2m’(t)sinwct =1/2cos(12000πt)+1/2cos(14000πt) 下边带信号为
SLSB(t)=1/2m(t) coswct+1/2m’(t) sinwct =1/2cos(8000πt)+1/2cos(6000πt) 其频谱如图3-2所示。 S（t） !
[
…
ω （ S（t） ω 图3-2 信号的频谱图
方法二：
先产生DSB信号：sm(t)=m(t)coswct=···，然后经过边带滤波器产生SSB信号。
习题将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若信号的传输函数H(w)如图所示。当调制信号为m(t)=A[sin100πt +sin6000πt]时，试确定所得残留边带信号的表达式。
解：
设调幅波sm(t)=[m0+m(t)]coswct，m0≥|m(t)|max，且sm(t)<=>Sm(w)
\\
H(w) 【 f/kHz
图3-3 信号的传递函数特性
根据残留边带滤波器在fc处具有互补对称特性，从H(w)图上可知载频fc=10kHz，因此得载波cos20000πt。故有
sm(t)=[m0+m(t)]cos20000πt
=m0cos20000πt+A[sin100πt+sin6000πt]cos20000πt =m0cos20000πt+A/2[sin(20100πt)-sin(19900πt)
?
+sin(26000πt)-sin(14000πt)
Sm(w)=πm0[σ(w+20000π)+σ(W-20000π)]+jπA/2[σ(w+20100π)-
σ(w+19900π)+σ(w-19900π)+σ(w+26000π)-σ(w-26000π) -σ(w+14000π)+σ(w-14000π)
残留边带信号为F(t)，且f(t)<=>F(w)，则F(w)=Sm(w)H(w)
故有：
F(w)=π/2m0[σ(w+20000π)+σ(w-20000π)]+jπA/2[σ(w+20100π) σ(w-20100π)σ(w+19900π)+ σ(w-19900π)+σ(w+26000π) -σ(w-26000π) f(t)=1/2m0cos20000πt+A/2[ππt+sin26000πt]
习题设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz，而载波为100kHz，已调信号的功率为10kW.若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，试问：
1.） 该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性H(w) 2.）
3.）
解调器输入端的信噪功率比为多少
%
4.） 解调器输出端的信噪功率比为多少
5.） 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图型表示出来。 解：
1.）
为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声，带通滤波器的宽度
等于已调信号带宽，即B=2fm=2*5=10kHz，其中中心频率为100kHz。所以
H(w)=K ，95kHz≤∣f∣≤105kHz
0 ，其他
2.） Si=10kW
Ni=2B* Pn(f)=2*10*103**10-3=10W 故输入信噪比Si/Ni=1000 3.） 4.）
因有GDSB=2
据双边带解调器的输出嘈声与输出噪声功率关系，有：
故输出信噪比 S0/N0=2000 N0=1/4 Ni =
故 Pn (f)= N0/2fm=*10-3W/Hz =1/2 Pn(f) ∣f∣≤5kHz Pn(f)(W/Hz)
*10
-5 0 5 ~
#
f/kHz —图3-4解调器输出端的噪声功率谱密度
习题设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn（f）=5*10-3W/Hz，在该信道中传输抑制载波的单边带信号，并设调制信号m（t）的频带限制在5kHz。而载频是100kHz，已调信号功率是10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器，试问：
1） 该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性。 2） 解调器输入端信噪比为多少 3） 解调器输出端信噪比为多少 解：1）H(f)= k ，100kHz≤∣f∣≤105kHz = 0 ， 其他 2）Ni=Pn(f)·2fm=*10-3*2*5*103=5W 故 Si/Ni=10*103/5=2000
3）因有GSSB=1， S0/N0= Si/Ni =2000
习题某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10-9W，由发射机输出端到调制器输入端之间总的传输耗损为100dB，试求：
1） DSB/SC时的发射机输出功率。
~
2） SSB/SC时的发射机输出功率。 解：
设发射机输出功率为ST，损耗K=ST/Si=1010(100dB)，已知S0/N0=100·（20dB），N0=10-9W
1） DSB/SC方式：
/
因为G=2，
Si/Ni=1/2·S0/N0=50 又因为Ni=4N0
Si=50Ni=200N0=2*10-7W ST=K·Si=2*103W 2） SSB/SC方式： 因为G=1，
Si/Ni= S0/N0=100 又因为Ni=4N0
Si=100Ni=400N0=4*10-7W ST=K·Si=4*103W
{
习题根据图3-5所示的调制信号波形，试画出DSB波形
>
M(t)
t
图3-5调制信号波形
解：
\
M(t)
t 图3-6已调信号波形
习题根据上题所求出的DSB图形，结合书上的AM波形图，比较它们分别通过包络检波器后的波形差别 ！
解：
讨论比较：DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真，所以DSB信号不能采用包络检波法;而AM可采用此法恢复m(t)
习题已知调制信号的上边带信号为 SUSB(t)=1/4cos(25000πt)+1/4cos(22000πt)，已知该载波为cos2*104πt求该调制信号的表达式。
解： 由已知的上边带信号表达式SUSB(t)即可得出该调制信号的下边带信号表达式：
SLSB(t)=1/4cos(18000πt)+1/4cos(15000πt) 有了该信号两个边带表达式，利用上一例题的求解方法，求得
m(t)=cos(2000πt)+cos(5000πt)
习题设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)，在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在10kHz，而载波为250kHz，已调信号的功率为15kW。已知解调器输入端的信噪功率比为1000。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，求双边噪声功率谱密度Pn(f)。 }
解：
输入信噪比Si/Ni=1000 Si=15kW
Ni=2B* Pn(f)=2*15*103* Pn(f)=15W 故求得Pn(f)=*10-3W/Hz
习题假设上题已知的为解调器输出端的信噪比，再求双边噪声功率谱密度Pn(f)。 解：
GDSB=2
#
故输出信噪比
S0/N0=2Si/Ni=1000 所以 Si/Ni=500
由上一例题即可求得：Pn(f)=1*10-3W/Hz
习题某线性调制系统的输出信噪比为20dB，输出噪声功率为10-8W， DSB/SC时的发射机输出功率为2*103W试求：从输出端到解调输入端之间总的传输损耗
解：已知： 输出噪声功率为N0=10-9W
因为G=2，
Si/Ni=1/2·S0/N0=50 因为Ni=4N0
：
Si=50Ni=200N0=2*10-6W 所以 损耗K=ST/Si=109
习题将上一题的DSB/SC时的发射机输出功率改为SSB/SC时的发射机输出功率，
再求：从输出端到解调输入端之间总的传输损耗
解：
因为G=1，
Si/Ni= S0/N0=100
因为Ni=4N0，Si=100Ni=400N0=4*10-6W 所以，损耗K=ST/Si=5*108
习题根据图所示的调制信号波形，试画出AM波形。
（
M(t) 图3-7调制信号波形 解： !
AM波形如下所示：
M(t)
`
t
图3-8已调信号波形 t ~
习题根据图所示的调制信号波形，试画出DSB波形。试问DSB信号能不能采用
包络检波法
M(t) t 图3-9调制信号波形 解：
…
M(t) t <
图3-10已调信号波形 DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真，所以DSB信号不能采用包络检波法
习题简述什么是载波调制常见的调制有哪些
答：载波调制，就是按调制信号(基带信号)的变换规律去改变载波某些参数的过 程。调制的载波可以分为两类：用正弦型信号作为载波;用脉冲串或一组数字信号作为载波。通常，调制可以分为模拟调制和数字调制。
《
习题试叙述双边带调制系统解调器的输入信号功率为什么和载波功率无关
答：因为输入的基带信号没有直流分量，且h(t)是理想带通滤波器，则得到的输
出信号事物载波分量的双边带信号，其实质就是m(t)与载波s(t)相乘。 所以双边带调制系统解调器的输入信号功率和载波功率无关。
习题什么是门限效应AM信号采用包络检波法解调时为什么会产生门限效应 答：在小信噪比情况下包络检波器会把有用信号扰乱成噪声，这种现象通常称为门限效应。进一步说，所谓门限效应，就是当包络检波器的输入信噪比降低到一个特
定的数值后，检波器输出信噪比出现急剧恶化的一种现象。该特定的输入信噪比值被称为门限。这种门限效应是由包络检波器的非线性解调作用引起的。
而AM信号采用包络检波法解调时会产生门限效应是因为：在大信噪比情况下，AM信号包络检波器的性能几乎与同步检测器相同。但随着信噪比的减小，包络检波器将在一个特定输入信噪比值上出现门限效应。
习题已知新型调制信号表达式如下：sinΩtsinwct，式中wc=8Ω，试画出它的波形图。
&
M(t) 1 ^t
-1 图3-11调制信号波形图 习题已知线性调制信号表达式如下： (1+Ωt)coswct
式中wc=4Ω，试画出它的波形图
解： (1+Ωt)coswct= coswct+Ωtcoswct，所以：
《
M(t) }coswt 1 t
—
-1 M(t) Ωtcoswct
t ， ：
两者相加即可得出它的波形图：
M(t)
t
图3-12调制信号波形图
习题某调制方框图3-14如下，已知m(t)的频谱如下面图3-13所示。载频w1< w1>wH，且理想低通滤波器的截止频率为w1，试求输出信号s(t)，并说明s(t)为何种一调制信号。 M(w) -w 0 w w 图3-13 m(t)的频谱 ` ~ 相乘器 coswt 【理想低通 相乘器 coswt 相加器 S(t) 相乘器 理想低通 相乘器 sinwt sinwt 图3-14调制信号方框图 解：s1(t)=m(t)cosw1tcosw2t s2(t)=m(t)sinw1tsinw2t 经过相加器后所得的s(t)即为： s(t)=s1(t)+s2(t) =m(t)[cosw1cosw2+sinw1sinw2] =m(t)cos[(w1-w2)t] : 由已知w1< s(t)=m(t)cosw2t 所以所得信号为DSB信号 第四章习题 1?习题 试证明式???f?????f?nfs?。 Tn???证明：因为周期性单位冲激脉冲信号?T(t)?变换 ??(?)?2?| n??????(t?nT)，周期为T，其傅里叶 ss? 而 Fn?1Tsn????F?(t?n?) ns?Ts2?Ts2?(t)??jn?stdt?1TS 2?所以 ??(?)?Ts1即 ??(f)?Tsn??????(??n?) ssn?????(??nf) 习题 若语音信号的带宽在300～400Hz之间，试按照奈奎斯特准则计算理论上信号不失真的最小抽样频率。 解：由题意，fH=3400Hz,fL=300Hz,故语音信号的带宽为 B=3400-300=3100Hz 3 fH=3400Hz=1?3100+?3100=nB?kB 31即n=1,k=331。 、 根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为 3k fs=2B(1?)=2?3100?（1+）=6800Hz n31 习题 若信号s(t)?sin(314t)314t。试问： （1） 最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复 （2） 在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min的抽样，需要保存多少个抽样值 解：s(t)?sin(314t)314t，其对应的傅里叶变换为 ??314, ??314 S(?)?? 其他?0, 信号s(t)和对应的频谱S(?)如图4-1所示。所以fH??H2??3142??50 Hz 根据低通信号的抽样定理，最小频率为fs?2fH?2?50?100 Hz，即每秒采100个抽样点，所以3min共有：100?3?60=18000个抽样值。 、 习题 设被抽样的语音信号的带宽限制在300～3400Hz，抽样频率等于 8000Hz。试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。 解：已抽样语音信号的频谱如图4-2所示。 s(t) (a) (b) ' S(?) ??314?314t?3140314? 图4-1习题图 ?16?12?8S(f)?4481216 .3 -15.7 -12.6 -11.4 -8.3 -7.7 -4.6 -3.4 -0.3 0 0.3 3.4 4.6 7.7 8.3 11.4 12.6 15.7 16.3 19.4f(kHz)?19.4 ?16图4-2 习题图 习题 设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪比等 于多少分贝 解：由题意M=256，根据均匀量化量噪比公式得 （ SqNq??dB?20lgM?20lg256?48.16dB 习题 试比较非均匀量化的A律和?律的优缺点。 答：对非均匀量化：A律中，A=；?律中，A=。一般地，当A越大时，在大电压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。即对大信号而言，非均匀量化的?律的信号量噪比比A律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的?律的信号量噪比比A律稍好。 习题 在A律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于时，输出的二进制码组。 解：信号抽样值等于，所以极性码c1=1。 查表可得?（13.93，11.98），所以的段号为7，段落码为110，故c2c3c4=110。 第7段内的动态范围为： n?(11.98?13.93)1?，该段内量化码为n,则641611+=，可求得n?，所以量化值取3。故c5c6c7c8=0011。 643.93所以输出的二进制码组为。 … 习题 试述PCM、DPCM和增量调制三者之间的关系和区别。 答：PCM、DPCM和增量调制都是将模拟信号转换成数字信号的三种较简单和常用的编码方法。它们之间的主要区别在于：PCM是对信号的每个抽样值直接进行量化编码：DPCM是对当前抽样值和前一个抽样值之差（即预测误差）进行量化编码；而增量调制是DPCM调制中一种最简单的特例，即相当于DPCM中量化器的电平数取2，预测误差被量化成两个电平+?和-?，从而直接输出二进制编码。 第五章习题 习题 若消息码序列为，试求出AMI和HDB3码的相应序列。 解： AMI 码为 HDB3码为 ' ?1?10?100?100000?1?1?10?100?1000?10?1习题 试画出AMI码接收机的原理方框图。 解：如图5-20所示。 r(t)全波整流 采样判决 T ak ? 图5-1 习题图 习题 设g1(t)和g2(t)是随机二进制序列的码元波形。它们的出现概率分别是P和 (1?P)。试证明：若P?无离散谱。 证明：若P?1?k，式中，k为常数，且0?k?1，则此序列中将 [1?g1(t)/g2(t)]1?k，与t无关，且0?k?1，则有 1?g1(t)/g2(t)P[g2(t)?g1(t)]?1 g2(t)即 Pg1(t)?Pg2(t)?g2(t)?(P?1)g2(t) Pg1(t)?(1?P)g2(t)?0 所以稳态波为 v(t)?P； ?g(t?nT)?(1?P)?g(t?nT) ??[Pg(t?nT)?(1?P)g(t?nT)]?0 1s2s1s2s即Pv(w)?0。所以无离散谱。得证！ 习题 试证明式h1?t???4sin?2?Wt?证明：由于h1(t)?W1?0H1?f?W?sin?2?ft?df。 ????H1(f)ej2?ftdf，由欧拉公式可得 ????h1(t)??H1(f)(cos2?ft?jsin2?ft)df??H1(f)cos2?ftdf?j?H1(f)sin2?ftdf????? 由于H1(f)为实偶函数，因此上式第二项为0，且 h1(t)?2?H1(f)cos(2?ft)df ???令，f?f?W,df?df'，代入上式得 'h1(t)?2?H1(f'?W)cos[2?(f'?W)t]df'?W???2?H1(f?W)cos2?ftcos2?Wtdf?2?H1(f?W)sin2?ftsin2?Wtdf?W?W? 由于H1(f)单边为奇对称，故上式第一项为0，因此 — h1(t)?2sin2?W?H1(f?W)sin2?fttdf?WW ??4sin2?W?H1(f?W)sin2?fttdf0 习题 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲g(t)[见图5-2的有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续时间等于T。试求： （1） （2） 解： 该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线； 该序列中有没有概率f?1T的离散分量若有，试计算其功率。 g(t)A > O习题图TT图5-2 1 （1）由图5-21得 t??2?TA1?t,t????g(t)???T?2 ?0 其他?g(t)的频谱函数为： G(w)?AT2?wT?Sa?? 24??由题意，P?0??P?1??P?1/2，且有g1(t)=g(t),g2(t)=0，所以 G1(t)?G(f),G2(f)?0。将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式中， 可得 ?112Ps(f)?P(1?P)G1(f)?G2(f)??T??T?m??m??m???PG?(1?P)G?f?????2??1?T?TT????????22?11m?2?m???P(1?P)G(f)??(1?P)G????f??TT??T????T1A2T24?wT??1?m??m??Sa?G????f?????4T4T??4???2T?T??A2T4?wT?Sa?16?4曲线如图5-3所示。 . 2 2?A???16?Sa???4?m???2m??????f??T???A162vPs(f) A2T16O1T2T3T4T5Tf 图 习题 图2 （2）二进制数字基带信号的离散谱分量为 · A2Pv(w)?16当m=±1时，f=±1/T，代入上式得 m?4?m???Sa?f????? ?2T???????A24????1?A24????1?Pv(w)?Sa????f???Sa????f?? 16T?16T??2???2??因为该二进制数字基带信号中存在f=1/T的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码元同步需要的f=1/T的频率分量。该频率分量的功率为 A24???A24???A2A22A2S?Sa???Sa???4?4?4 16216?????2?? 习题 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形g(t)为矩形脉冲，如图5-4所示，其高度等于1，持续时间τ =T/3，T为码元宽度；且正极性脉冲出现的概率为的概率为 3，负极性脉冲出现41。 4（1） （2） 试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线； 该序列中是否存在f?1的离散分量若有，试计算其功率。 Tg(t) 1【 ?T/2??/2?/2图5-4 习题图 0 T/2t解：（1）基带脉冲波形g(t)可表示为： ?1 t??/2g(t)?? 其他?0 g(t)的傅里叶变化为：G(f)??Sa(??f)?@ T??Tf?Sa?? 3?3? 该二进制信号序列的功率谱密度为： P(f)?12P(1?P)G1(f)?G2(f)??Tm????1?m??m??m???PG?(1?P)G?f???????12?T?TTT????????2?312?m??G(f)??Sa2?4T?3m???36m??????f??T???曲线如图5-5所示。 ~ P(f)1/36T/1201/T2/T3/T4/T5/T6/T7/T图5-5 习题图 8/T9/Tf（2） 二进制数字基带信号的离散谱分量为 Pv(f)?当m??1, f??12?m???m?Sa?f????? ?363T????m????1时，代入上式得 T11?11?????????Sa2????f???Sa2????f?? 36T?36T??3???3??因此，该序列中存在f?1/T的离散分量。其功率为： Pv(f)?1?sin?/3?1?sin?/3?3 Pv???????236??/3?36??/3?8?习题 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形h(t)如图5-13所示。 （1） 试求该基带传输系统的传输函数H(f)； 22（2） , （3） 若其信道传输函数C(f)?1，且发送滤波器和接收滤波器的传输函数相同，即GT(f)?GR(f)，试求此时GT(f)和GR(f)的表达式。 ??2?Tt???1-t? ?T?2 ，由图5-6可得h(t)=g?t??，因为g(t)的解：（1）令g(t)???T?2???0 其他?频谱函数G(f)?T2?T2?f?Sa??，所以，系统的传输函数为 24???j2?fT22?fTT2?T2?f??j2H(f)=G(f)e ?Sa??e24??（2）系统的传输函数H(f)由发送滤波器GT(f)、信道C(f)和接收滤波器GR(f)三部分 组成，即H(f)=C(f)GT(f)GR(f)。因为C(f)?1，GT(f)?GR(f)，则 22(f)=GR(f) H(f)=GTT?T2?f??j所以 GT(f)=GR(f)=H(f)?Sa??e2?4? { 2?fT4 h(t)1 OT/2图5-6 习题图T t 习题 设一个基带传输系统的传输函数H(f)如图5-7所示。 （1） （2） 试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式： 若其中基带信号的码元传输速率RB?2f0，试用奈奎斯特准则衡量 H(f)该系统能否保证无码间串扰传输。 ） 1 f0图5-7 习题图 O f0f?1?f/f0 f?f0解：（1）由图5-25可得H(f)=?。 其他 ?0 ?1?t/T, t?T2因为g(t)??，所以G(f)?TSa(?fT)。 其他?0 2根据对称性：G(?f)?g(jt),G(f)?g(t),f?t,T?f0,所以h(t)?f0Sa(?f0t)。 （2）当RB?2f0时，需要以f?RB?2f0为间隔对H(f)进行分段叠加，即分析在区间 [?f0,f0]叠加函数的特性。由于在[?f0,f0]区间，H(f)不是一个常数，所以有码间干扰。 ] 习题 设一个二进制基带传输系统的传输函数为 ??0(1?cos2?f?0),f?1/2?0H(f)?? ,其他?0 试确定该系统最高的码元传输速率RB及相应的码元持续时间T。 解：H(f)的波形如图5-8所示。由图可知，H(f)为升余弦传输特性，根据奈奎斯特第一 准则，可等效为理想低通（矩形）特性（如图虚线所示）。等效矩形带宽为 W1?111?? 22?04?01 2?0最高码元传输速率 RB?2W1?相应的码元间隔 TS?1/RB?2?0 ^ 2?0H(f) ?1/2?0?00图5-8 习题图 01/4?1/2?0 习题 若一个基带传输系统的传输函数H(f)和式（）所示，式中W?W1。 （1） 试证明其单位冲激响应，即接收滤波器输出码元波形为 h(t)?（2） ' （3） 1sin?t/Tcos?t/T T?t/T1?4t2/T2若用 1波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上是否存在码间串扰 T?1???????1?cosf???,f?2W1??解：（1）H(f)??2? ?2W1??? ,其他?0 ?f?f?jj??e2W1?e2W1?1?f?1?H(f)?G4W1(f)?1?cos?G4W1(f)?1???22W1?22????jj1112W1?G4W1(f)?G4W1(f)e?G4W1(f)e2W1244其中，G4W1(f)是高为1，宽为4W1的门函数，其傅里叶反变换为 ????? ?f?fG4W1(f)?因此单位冲激响应 22?tSa() TTh(t)?12?t1?2??t?T/2??1?2??t?T/2??Sa()?Sa??Sa??TT2T?TT?2T???12?t1?2?t?1?Sa()?Sa??TTT?T?1?T2/4t2??12?t?1?Sa()?1?TT?1?T2/4t2?? 12?t?1?Sa()?TT?1?4t2/4T2??1sin?t/Tcos?t/T?T?t/T1?4t2/T2（2）由h(t)的图形可以看出，当由1/T波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上不存在码间串扰。 习题 设一个二进制双极性随机信号序列的码元波形为升余弦波。试画出当扫描周期等于码元周期时的眼图。 … 解：当扫描周期等于码元周期时的眼图如图5-9所示。 ' EOTst ?E图5-9 习题图 习题 设一个横向均衡器的结构如图5-10所示。其3个抽头的增益系数分别为： C?1??1/3,C0?1,C1??1/4。若x(t)在各点的抽样值依次为：x?2?1/8,x?1?1/3,x0?1,x1?1/4,x2?1/16，在其他点上其抽样值均为0。试计算x(t)的峰 值失真值，并求出均衡器输出y(t)的峰值失真值。 ' x(t)T T 相加 图 5-10 习题图 130?14y(t)1解：Dx?x0Nk??2k?0?xk?k?12111137 ????8341648由yk?i??N?Cxi，可得 \ 111 y?3?C?1x?2????38241111 y?2?C?1x?1?C0x?2????1??3387211?1?11y?1?C?1x0?C0x?1?C?1x?2???1?1???????? 33?4?832115?1?1y0?C?1x1?C0x0?C?1x?1????1?1??????? 346?4?3111?1?1y1?C?1x2?C0x1?C?1x0????1??????1?? 3164?4?48y2?C0x2?C1x1?1?1?1?1??????0 16?4?41?1?1y3?C1x2??????? 64?4?16其余yk的值均为0，所以输出波形的峰值失真为： 1Dy?y06?11111?71 y?????0?????k52472324864480??k??3k?03 习题设有一个3抽头的均衡器。已知其输入的单个冲激响应抽样序列为，，，，，，。 （1） ~ （2） 试用迫零法设计其3个抽头的增益系数Cn； （3） 计算均衡后在时刻k=0,±1, ±2, ±3的输出值及峰值码间串扰的值。 解：(1)其中x?2?0.2,x?1??0.2,x0?1.0,x1?0.4,x2??0.1 ?N?N??Cixk?i?0, k??1,?2,?，?i??N根据式?N，和2N+1=3，可列出矩阵方程 ?Cx?0,k?0?ik?i??i??N?x0?x?1??x2将样值xk代人，可得方程组 x?1x0x1x?2??C?1??0??C???1? x?1???0???x0????C1????0???x0?x?1??x2Nx?1x0x1x?2??C?1??0??C???1? x?1???0???x0????C1????0??解方程组可得，C?1?0.2318,C0?0.8444,C1??0.3146。 (2)通过式yk?i??N?Cxik?i可算出 y0?1,y?1?0,y1??0.4371,y?2??0.0232,y2?0.1946,y?3?0.0613,y3?0.0215 $ 其余yk?0 1输入峰值失真为： Dx?x01输出峰值失真为： Dy?y0均衡后的峰值失真减小为原失真的。 k???k?0??x?k?1.1 k???k?0?yk?0.7377 习题 设随机二进制序列中的0和1分别由g(t)和g(?t)组成，它们的出现概率分别为p及（1-p）。 （1）求其功率谱密度及功率。 （2）若g(t)为如图5-6（a）所示波形， Ts为码元宽度，问该序列存在离散分量 fs?1/Ts否 * （3）若g(t)为如图5-6（b），回答题（2）所问。 解： （1） ??Ps(f)?4fsp(1?p)G(f)?2m????fs[(2p?1)G(mfs)]?(f?mfs) s2S?其功率 ??12???s?????P(w)dw??P(f)df??2m??? 2????[4fsp(1?p)G(f)???2?????fs[(2p?1)G(mfs)]?(f?mfs)]df m????4fsp(1?p)?G(f)df?fs2(2p?1)2（2） ???G(mfs)2 ?g(t)?1,t?Ts/2?0,其它若? G(f)?Tsg(t) 傅里叶变换G(f)为 sin?fTs?fTs G(fs)?Ts因为 sin?fsTs?sin??Ts?0?fTs? … 由题（1）中的结果知，此时的离散分量为0. （3）若 g(t) 傅里叶变换G(f)为 ?g(t)?1,t?Ts/4?0,其它? Tssin?fT2G(f)?s2?fTs2 因为 所以该二进制序列存在离散分量 Ts?sin?fsinT2?Ts2?Ts?0G(f)?s2?fTs2??22 fs?1/Ts。 习题 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，，数字信息“1”和“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等： | （1）求该数字基带信号的功率谱密度。 （2）能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率 fs?1/Ts的分量如能，试计算该分 量的功率。 解： （1） 对于单极性基带信号， 度为 g1(t)?0,g2(t)?0?g(t),2随机脉冲序列功率谱密 Ps(f)?fsp(1?p)G(f)?当p=1/2时， 2m???2??fs22fsg(t)?G(f)??G(mfs)?(f?mfs)44m??? ???fs[(1?p)G(mfs)]?(f?mfs) 由图5-7（a）得 2?A(1?t),t?Ts/2?Tg(t)??s?0,其它t?g(t) 傅里叶变换G(f)为 G(f)?— ATs2??fTsSa?2?22??? 2代入功率谱密度函数式，得 ??fsATs2??fTs?fs2ATs2??mfsTs?Ps(f)?Sa?Sa??????(f?mfs)42?2?m???42?2? 22??ATs4??fTs?A4??m??Sa??Sa????(f?mfs)?16?2??2?16m??? (2) 由图 5-7(b)中可以看出，该基带信号功率谱密度中含有频率 fs=1/Ts的离散分量，故可以提取码元同步所需的频率 fs=1/Ts 的分量。 由题(1)中的结果，该基带信号中的离散分量为 Pv(w)为 4??m?Sa????(f?mfs)2??m??? ?fs当m取?1时，即f= 时，有 A24???A24???Pv(f)?Sa???(f?fs)?Sa???(f?fs)16216???2? 22AA2A24???4???S?Sa???Sa???416216???2?? 所以该频率分量的功率为 ??A2Pv(f)?16 ^ 习题 设某二进制数字基带信号中，数字信号“1”和“0”分别由 及 表示，且“1” 与“0”出现的概率相等，是升余弦频谱脉冲，即 (1) 写出该数字基带信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密度图；从该数字基带信号中能否直接提取频率 fs=1/Ts的分量。 (2) 若码元间隔 Ts=10-3s, 试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。 解：当数字信息“1”和“0”等概率出现时，双极性基带信号的功率谱密度 ??t?cos???Ts?Sa??t?g(t)????4t2??Ts?2?1?2??Ts?Ps(f)?fsG(f)2 已知 ??t?cos???Ts?Sa??t?g(t)????4t2??Ts?2?1?2??Ts?，其傅氏变换为 1?Ts?(1?cosf?Ts),f?G(f)??4Ts?0,其它f? > 代入功率谱密度表达式中，有 Ps(f)?Ts1(1?cosf?Ts)2,f?16Ts 习题 设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图 5-9(a)所示。它是一个高度为 1，宽度 得矩形脉冲，且已知数字信息“1”的出现概率为 3/4， “0”的出现概率为 1/4。 (1) 写出该双极性信号的功率谱密度的表示式，并画出功率谱密度图； (2) 由该双极性信号中能否直接提取频率为 fs=1/Ts的分量若能，试计算该分量的功率。 解 ： (1) 双极性信号的功率谱密度为 Ps(f)?4fsp(1?p)G(f)?当p=1/4 时，有 2m??????fs(2p?1)G(mfs)?(f?mfs) 22《 3fsfs22Ps(f)?G(f)?44由图5-7（a）得 m??????G(mfs)?(f?mfs) ?1,t??/2g(t)???0,其它t sin?f?G(f)????Sa??f???f?故 将上式代入 Ps(f) 的表达式中，得 23fs22ATsfs22??Ps(f)??Sa??f?????Sa2??mfs???(f?mfs)424m??? 1??Ts3代入上式得 将 Ts22??fTs?1??Ps(f)?Sa?Sa2??m/2??(f?mfs)???12?2?36m??? Pv(w)功率谱密度如图5-9（b）所示。 （2） 由图 5-9(b)可以看出，由该双极性信号可以直接提取频率为 fs=1/Ts的分量。该基带信号中的离散分量为 为 】 1??Pv(w)?Sa2??m/2??(f?mfs)?36m??? 当m取?1时，即f= ?fs时，有 11Sa2??/3??(f?fs)?Sa2??/3??(f?fs)3636 1fs?Ts分量的功率为 所以频率为Pv(w)?S?113Sa2??/3??Sa2??/3??236368? : 习题 已知信息代码为 ，求相应的 AMI 码，HDB3 码，PST 码及双相码。 解 ： AMI 码：+1 0000 00000 –1 +1 HDB3 码：+1 000+V -B00 -V0 +1 –1 PST 码： ①(+模式)+0 - + - + - + - + +- ②(-模式)-0 - + - + - + - + +- 双相码：10 01 01 01 01 01 01 01 01 01 10 10 习题 某基带传输系统接受滤波器输出信号的基本脉冲为如图 5-10 所示的三角形脉冲。 (1) 求该基带传输系统的传输函数 H(w); (2) 假设信道的传输函数 C(w)=1,发送滤波器和接受滤波器具有相同的传输函数，即 G(w)=GR(w),试求这时 GT(w)或 GR(w)的表达式。 解： (1)由图 5-10得 ~ ?Ts2?(1?t?),0?t?Th(t)??Ts2?0,其它t? GT(w)，信道 C(w)和接受滤波器 基带系统的传输函数 H(w)由发送滤波器 成，即 若C(w)?1， 则 GR(w)组 H(w)?GT(w)C(w)GR(w)GT(w)?GR(w) H(w)?GT(w)GR(w)?GT2(w)?GR2(w)TsTs?jwT4sGT(w)?GR(w)?H(w)?Sa(w)e24所以 习题 设某基带传输系统具有图 5-11所示的三角形传输函数： (1) 求该系统接受滤波器输出基本脉冲的时间表示式； (2) 当数字基带信号的传码率 RB=w0/π时,用奈奎斯特准则验证该系统能否实现 无码间干扰传输 解： (1) 由图 5-11 可得 & 1?(1?w),w?w0?w0H(w)???0,其它的w? 该系统输出基本脉冲的时间表示式为 1h(t)?2??????H(w)ejwtdw?(2) 根据奈奎斯特准则,当系统能实现无码间干扰传输时, H (w)应满足 w0wtSa(0)2?2 2???H(w?)?C,w???TsTs?iHeq(w)????0,w??Ts? ?w??w0Ts容易验证，当时， 2?H(w?i)??H(w?2?RBi)??H(w?2W0i)?C?Tiiis wRB?0 习题 设基带传输系统的发送器滤波器，信道及接受滤波器组成总特性为 H(w)，若要求以 2/Ts Baud 的速率进行数据传输，试检验图 5-12 各种H(w)满足消除抽样点上无码间干扰的条件否 解： 、 所以当传码率 ?时，系统不能实现无码间干扰传输 当RB=2/Ts 时，若满足无码间干扰的条件，根据奈奎斯特准则，基带系统的总特性H(w)应满足 ??H(w?2?RBi)?C,w??RB?Heq(w)??i0,w??RB?? 4?i2??H(w?)?C,w???TsTs?iHeq(w)??2??0,w??Ts?或者 容易验证，除(c)之外，(a) (b) (d)均不满足无码间干扰传输的条件。 习题 设某数字基带传输信号的传输特性 H(w)如图 5-13 所示。其中 a 为某个常数(0≤a≤1)。 (1) 试检验该系统能否实现无码间干扰传输 } (2) 试求该系统的最大码元传输速率为多少这是的系统频带利用率为多大 解： (1) 根据奈奎斯特准则，若系统满足无码间干扰传输的条件，基带系统的总特性 H(w) ??H(w?2?RBi)?C,w??RB?Heq(w)??i0,w??RB??应满足 可以验证，当 RB=w0/π时，上式成立。几该系统可以实现无码间干扰传输。 (2) 该系统的最大码元传输速率 Rmax,既满足 Heq(w)的最大码元传输速率 RB，容易得到 Rmax=w0/π 系统带宽 B?(1??)w0rad?(1??)w0/2? HZ,所以系统的最大频带利用率为： ?? Rmaxw0/?2??(1??)w0(1??)B2? RB?103Baud习题 为了传送码元速率的数字基待信号， 试问系统采用图 5-14 中所画 的哪一种传输特性较好并简要说明其理由。 解： 根据奈奎斯特准则可以证明(a)，(b)和(c)三种传输函数均能满足无码间干扰的要求。下面我们从频带利用率，冲击响应“尾巴”衰减快慢，实现难易程度等三个方面分析对比三种传输函数的好坏。 (1) 频带利用率 三种波形的传输速率均为其频带利用率 RB?103Baud，传输函数(a)的带宽为 Ba?103 Hz ?a?RB/Bb?1000/1000?1Baud/HzBc?103Hz 传输函数(c)的带宽为其频带利用率 ?c?RB/Bc?1000/1000?1Baud/Hz ?????bc 显然 a所以从频带利用率角度来看，(b)和(c)较好。 (2) 冲击响应“尾巴”衰减快慢程度 (a)，(b)和(c)三种传输函数的时域波形分别为 ha(t)?2*103Sa2(2*103?t)hb(t)?2*103Sa(2*103?t)hc(t)?103Sa2(103?t)2 其中(a)和(c)的尾巴以1/t的速度衰减，而(b) 尾巴以 1/t 的速度衰减，故从时域波形的尾巴衰减速度来看，传输特性(a)和(c)较好。 (3) 从实现难易程度来看，因为(b)为理想低通特性，物理上不易实现，而(a)和(c)相对较易实现。 综上所述，传输特性(c)较好。 习题 设二进制基带系统地分析模型如图 5-2 所示，现已知 ????0(1?cosw?0),w??0H(w)???0,其它的w?试确定该系统最高的码元传输速率 RB及相应码元间隔 Ts. 解 ： 传输特性 H(w)为升余弦传输特性。有奈奎斯特准则，可求出系统最高的码元速 1RB??02 Baud，而 Ts?2?0。 率 习题 若上题中 并画出 h(t)的示意波形和说明用解 ： H(w)可以表示为 Ts2??Ts(1?cosw),w??2TsH(w)??2?0,其它的w?试证其单位冲击响应为 sin?t/Tscos?t/Tsh(t)?*?t/Ts1?4t2/Ts2 1/Ts Baud 速率传送数据时，存在(抽样时刻上)码间干扰否 H(w)?TsTG4?(w)(1?cosws)2Ts2G4?(w)Ts 傅式变换为 F?1[G4?(w)]?TsTs2?tSa()2TsjwTs2而 H(w)?TseG4?(w)(1?2Ts?e2?jwTs2)wTwTjs?jsTsTsTs?G4?(w)?G4?(w)e2?G4?(w)e22Ts4Ts4Ts h(t)?所以 Ts22?tTs2*Sa()?*Sa(2TsTs4Ts2?(t?TsT)T2?(t?s)2)?s*2Sa(2)Ts4TsTs ?Sa(?Sa(?Sa(?Sa(?2?t1)?Sa(Ts22?(t?TsT)2?(t?s)2)?1Sa(2)Ts2Ts2?t2?t1)?Sa()*TsTs1?Ts2/4t22?t1)*(1?)Ts1?Ts2/4t22?t1)*()22Ts1?4t/Ts sin?t/Tscos?t/Ts*?t/Ts1?4t2/Ts2 习题 设有一相关编码系统，理想低通滤波器的截止频率为 1/(2Ts)，通带增益为 Ts。试求该系统的单位冲击响应和频率特性。 解： 理想低通滤波器的传递函数为 1TsBaud时，将不存在（抽样时刻上的）码间干扰，因为h(t)满足 当传输速率 1,k?0?h(KTs)???0,k为其它的整数 RB???T,w??sTsH(w)???0,其它的w? ?h'(t)?sa(t)Ts 其对应的单位冲击响应 所以系统单位冲击响应 h(t)?[?(t)??(t?2Ts)]*h'(t)?h'(t)?h'(t?2Ts)?sa(?Tst)?sa[?Ts(t?2Ts)] 习题若上题中输入数据为二进制的，则相关编码电平数为何值若数据为四进制的，则相关编 ???2jwTsT[1?e],w??sTs??jwTs'?0,其它的wH(w)?[1?e]H(w)?系统的频率特性 ??2TsinwT,w??ssTsH(w)???0,其它的w? 码电平数为何值 kk?2 解 相关编码表示式为k若输入数据为二进制(+1,-1), 则相关编码电平数为 3；若输入数据为四进制(+3,+1,-1,-3)，则相关编码电平数为 7。 一般地，若部分相应波形为 C?b?bg(t)?R1sin?t/Tssin?(t?Ts)/Tssin?(t?(N?1)Ts)/Ts?R2?????RN?t/Ts?(t?Ts)/Ts?(t?(N?1)Ts)/Ts 输入数据为 L 进制，则相关电平数 Q?(L?1)?Ri?1i?1N 最小误码率证明 A?n2p(0)Vd?ln22Ap(1) 习题试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为 1erfc(A)pe?2?n2* (“1”和“0”等概出现时) 对于单极性基带信号，在一个码元持续时间内， 抽样判决其输入端得到的波形可表示为 其中概率密度为 ?A?nR(t)发送“1?时x(t)???nR(t)发送“0?时 ?2nnR(t)为均值为 0，方差为 的高斯噪声，当发送“1”时，x(t)的一维 而发送“0”时，x(t)的一维概率密度为 1(x?A)2f1(x)?exp[?]22?n2??n 1x2f0(x)?exp[?]22?n2??n Vd若令判决门限为 Vd,则将“1”错判为“0”的概率为 Pel?p(x?Vd)?????将“0”错判为“1”的概率为 1(x?A)2exp[?]dx22?n2??n 1x2exp[?]dx22?n2??n Pe0?p(x?Vd)?Vd?若设发送“1”和“0”的概率分别为 p(1)和 p(0)，则系统总的误码率为 pe?p(1)Pe1?p(0)Pe2 习题 若二进制基带系统，已知 dpe?0*VdV令d，得到最佳门限电平d即解的最佳门限电平为 ?n2p(0)*Vd?ln2Ap(1) n0G(w)(1) 若 n(t)的双边功率谱密度为2 (W/Hz)，试确定R得输出噪声功率； (2) 若在抽样时刻 KT(K 为任意正整数)上，接受滤波器的输出信号以相同概率取0，A电平，而输出噪声取值 V服从下述概率密度分布的随机变量 试求系统最小误码率 Pe. 解 ： (1) GR(w)的输出噪声功率谱密度为 接受滤波器 GR(w) 输出噪声功率为 (2) 设系统发送“1”时，接受滤波器的输出信号为 A电平，而发送“0”时，接受滤波器的输出信号为 0 电平。若令判决门限为 Vd,则发送“1”错判为“0”的概率为 发送“0”错判为“1”的概率为 设发送“1”和“0”的概率分别为 p(1)和 p(0)，则总的错误概率为 习题某二进制数字基带系统所传送的是单极性基带信号，且数字信息“1”和“0”的出现概率相等。 若数字信息为“1”时，接受滤波器输出信号在抽样判决时刻的值 A=1V，且接受滤波器输出噪声是均值为 0，均方根值为 的高斯噪声，试求这时的误码率Pe; 解： 用 p(1)和 p(0)分别表示数字信息“1”和“0”出现的概率，则 p(1)=p(0)=1/2，等概时，最佳判决门限为 V*d=A/2=. 已知接受滤波器输出噪声是均值为 0，均方根值为 误码率 习题 若将上题中的单极性基带信号改为双极性基带信号，其他条件不变，重做上题。 解 ： 等概时采用双极性基带信号的几代传输系统的最小误码率 习题 设有一个三抽头的时域均衡器，x(t)在各抽样点的值依次为 x -2=1/8 x -1=1/8, x 0=1, x +1=1/4, x +2=1/16(在其他抽样点均为零)， 试求输入波形 x(t)峰值的畸变值及时雨均衡其输出波形 y(t) 峰值的畸变值。 解 xk 的峰值的畸变值为 1Dx?x0有公式 Ni??2?x2i111137?????8341648 yk?i??N?Cxik?i得到 111y?3?C?1x?2??*??3824 1111y?2?C?1x?1?C0x?2??*?1*?33872 11111y?1?C?1x0?C0x?1?C0x?2??*1?1*?(?)*??334832 11115y0?C?1x1?C0x0?C1x?1??*?1*1?(?)*??34436 11111y1?C?1x2?C0x1?C1x0??*?1*?(?)*1??3164448 111y2?C0x2?C1x1?1*?(?)*?01644 y2?C1x2??其余 yk 值为0。 111*??16464 输出波形 yk 峰值的畸变值为 1Dy?y0i??3?361111171yi?*(????0?)?52432724864480
通信原理教程樊昌信版主要课后习题答案
