华中师范大学数学分析考研真题
以上是01年数分
2003年数学分析（综合卷）
1.(16)求下列极限： (1)lim(n!)n???(1/n2)3. (2)f(x)在[?1,1]上连续，恒不为0，求limx?01?f(x)sinx?13?1x
2.(15)设f(x)在[a,b]上二阶可导,过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线y?f(x)相较于C(c,f(c)),其中
a?c?b,证明:在(a,b)中至少存在一点?,使f??(?)?0.
3.(15) 证明:?xnln2x在(0,1]上一致收敛.
n?1?4.(15) 设{(fn(x))}是[a,b]上的函数序列,满足对每一个x?[a,b]导函数fn?(x)存在(n?1,2,?)并且满足下
列条件:(1)存在某一个x0?[a,b],使{(fn(x0))}收敛；(2)导函数列{fn?(x)}在[a,b]上一致收敛. 证明:
{fn(x)}在[a,b]上一致收敛.
5.(14)设f(x)在[a,b]上可导,其导函数f?(x)在[a,b]可积,对任意的自然数n.记
bb?ab?ab?a[f(b)?f(a)]. ?n??f(a?i)??f(x)dx , 证明:limn?n?n???2nni?1an2004年数学分析
1.求下列极限(共50分,第1,2小题各10分,第3,4小题各15分)
1 (1)lim(cosx)x?0744sin2x111n1?lim??…+ (2)
n??23nx?1?2x) (4)limsinn??(3)limx(x?1?x??44?2n(?sink?1nk?) n2.(15)设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若x1,x2是f(x)在区间[a,b]上的两个零点，证明：存在
??[a,b]，使得f'(?)?f(?)g'(?)?0
3.(15)设f(x)在[a,b](b?a?0)上连续,在(a,b)内可导,证明:在(a,b)内存在?,?使f?(?)?f(x)e4.(15)设f(x)在[a,b]上黎曼可积,证明:在[a,b]上也是黎曼可积的.
?2?f?(?)a?b.
5.(15)fn'(x)(n?1,2,3,…）在[a,b]上连续,函数g(x)在[a,b]上也连续,且对[a,b]中任意的x1,x2和正整数n,有
M|fn(x1)?fn(x2)|?|x1?x2|(M?0),证明:limg(x).fn'(x)dx?0.
n???nab?6.(15)设fn(x)(n?1,2,?)在[a,b]上连续,且{fn(x)}在[a,b]上一致收敛与f(x).证明:
（??，??）(1)存在M?0,使对任何自然数n,有|fn(x)|?M,及|f(x)|?M. (2)若F(x)为上连续函数,则
F(fn(x))一致收敛于F(f(x)).
7.(10)设函数f(x)在闭区间[?1,1]上具有三阶连续导数,且f(?1)?0,f(1)?1,f?(0)?0,证明:在(?1,1)内至
少存在一点?,使得f(3)(?)?3.
8.(15)函数F(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有连续的二阶偏导数,且
F(x0,y0)?0,Fx'(x0,y0)?0,Fy'(x0,y0)?0,Fxx''(x0,y0)?0,
证明:由方程F(x,y)确定的隐函数y?f(x)在x0点取得极小值.
2005年数学分析
1.求下列极限或指定函数的值:
1!?2!?3!?(1)limn??n!?n!(10分) (2)limnn??135246(2n?1)(102n分)
x1(3)lim[(x?x?).ex?x6?1](10分) (4)设f(x)在x?0的邻域二阶可导,且
x???232f(x)1lim(1?x?)x?e3,求f(0),f'(0),f''(0)的值.(15分) x?0x2.(15)设函数f(x),g(x)在[a,b]上可导,且在(a,b)上g'(x)?0,证明:存在??(a,b)使f(a)?f(?)f'(?)?.
g(?)?g(b)g'(?)4|f'(x)|?|3.(15)设函数f(x)在[2,4]上有连续的一阶导函数,且f(2)?f(4)?0,证明：max2?x?4?f(x)dx|.
24.(13)设有方程x?m?q.sinx(0?q?1).若x0?m,x1?m?q.sinx0,,xn?1?m?qsinxn,,证明:{xn}收敛; 设
n???limxn?l,再证明l是方程x?m?q.sinx的唯一解.
?1x5.(13)证明:函数项级数?(ex?(1?)n)在任何有穷区间[a,b]上一致收敛.
nn?1na?b1f()?f(x)dx. 6.(13)设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)?0,证明:?2b?aab1n?tt.edt在[a,b]上一致收敛. 7.(13)设a1,a2,,an,均为常数,证明:函数项级数?an.?n!0n?18.(13)设f(x)在[a,b]上黎曼可积，
?xf(x)?c?0,用可积准则证明：函数lnf(x)在[a,b]上黎曼可积.
9.(10)设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:在(a,b)内存在?,使得
b?aa?b1f(xdx)?b?(af)(?)b?a3(f? ).224''()2006年数学分析
1.(30) (1)limx?1sin2(x?1)sinex?1?11x?1. (2) 设y?xx?ax,求y?. (3)
?lnlnx?1dx. lnx(4)设f(x,y)?xy?(y?1)2arcsin(5)??(x?y)exD2?x,求fx(x,1). y?y2dxdy,其中D?{(x,y)x2?y2?1}. (6) 求I??xsinydy?cosydx,其中L是从点
LO(0,0)到点A(?,0)的正弦曲线有y?sinx.
2.(20)设f(x)在(a,??)上可导,且f'(x)在(a,??)上有界,证明:(1) f(x)在(a,??)上一致连续.
f(x)存在，但limf(x)不一定存在. (2)f(a?)?lim?x?ax??(3)若limf(x)存在，且limf(x)?lim?f(x)，则f?(x)在(a,??)上至少有一个零点。
x???x???x?a113.(20)设f(x)在[0,1]上连续,f(0)?f(1),(1)证明: 存在x0?[0,],使得f(x0)?f(x0?).
22n?11],使得f(x0)?f(x0?),并证明你的结论. (2)试推测|:对任意正整数n,是否存在x0?[0,nnx4.(10)设f(x)在[0,??)上连续,且f(x)?0,记?(x)??tf(t)dt0x, (1)求lim?(x). (2)证
x?0??0f(t)dt明:?(x)在(0,??)上是严格单调递增.
华中数学分析历年考研真题
