[学业水平训练]
1．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β的四个结论： ①若m?α，l∩α＝A，点A?m，则l与m不共面；
②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α； ③若l⊥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β. 其中错误结论的序号是________．
解析：①依据异面直线判定定理知其正确．②l、m在α内的射影为两条相交直线，记为l′、m′，则l′∥l，m′∥m.又∵n⊥l，n⊥m，∴n⊥l′，n⊥m′，∴n⊥α，故②正确．③满足条件的l和m可能相交或异面，故错误．④依据面面平行的判定定理知其正确． 答案：③
2．经过平面外两点可作该平面的平行平面的个数是________．
解析：若平面外两点所在直线与该平面相交，则过这两个点不存在平面与已知平面平行；若平面外两点所在直线与该平面平行，则过这两个点存在惟一的平面与已知平面平行． 答案：0或1
3．若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________． 解析：如图，在正方体AC1中，取AA1、BB1的中点分别为E、F，连结EF，则EF∥平面AC，且BC、B1C1和CC1均与EF是异面直线，而BC?平面AC，C1C∩平面AC＝C，B1C1∥平面AC，因此答案应为：b?α、相交或平行．
答案：b?α、相交或平行
4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．
解析：两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β
PAAC
的交线AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.
PBBD
答案：12
5．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．
①平面ABC必平行于α； ②平面ABC必与α相交； ③平面ABC必不垂直于α；
④存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内．
解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A、B、C在α的同侧，则平面ABC必平行于α；若A、B、C在α的异侧，平面ABC必与α相交且交线是△ABC的一条中位线所在直线，排除①②③. 答案：④
6．如图是正方体的平面展开图：
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在这个正方体中，①BM∥平面ADE；②CN∥平面BAF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF，以上说法正确的是________(填序号)． 解析：以ABCD为下底还原正方体，如图所示， 则易判定四个说法都正确．
答案：①②③④
7．已知，PA垂直矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
证明：法一：取CD的中点H，连结NH，MH，∵NH∥PD， ∴NH∥面PAD， 同理MH∥平面PAD， 又MH∩NH＝H， ∴面MNH∥面PAD， 又MN?面MNH， ∴MN∥面PAD.
法二：连结CM并延长交DA延长线于E(图略)，容易证明MN∥PE，从而证明MN∥平面PAD. 8．如图所示，已知平面α∥平面β，A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AC，BD是异面直线，点E，F分别是AC，BD的中点，求证：EF∥α.
证明：如图，过点E作直线A1C1∥BD，设A1C1与平面α，β分别交于点A1，C1.连结AA1，A1B，CC1，C1D.∵α∥β，平面A1C1DB∩平面α＝A1B，平面A1C1DB∩平面β＝C1D，∴A1B∥C1D，又BD∥A1C1，∴四边形A1C1DB为平行四边形．同理，AA1∥CC1，又E为AC的中点，∴E为A1C1的中点，又F为BD的中点，∴EF∥A1B，∵A1B?平面α，EF?平面α， ∴EF∥α.
[高考水平训练]
1．给出下列几个说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，其中正确的说法为________(填序号)．
解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④对． 答案：④
2．设平面α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，当点S在平面α，β之间时，CS等于________． 解析：
如图，由题意知， △ASC∽△BSD，
∵CD＝34，∴SD＝34－CS.
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由AS∶BS＝CS∶(34－CS)知， 8∶9＝CS∶(34－CS)， ∴CS＝16.
答案：16
3.如图，平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，
AECF
CD上，且＝.求证：EF∥平面β.
EBFD证明：(1)若直线AB和CD共面，
∵α∥β，平面ABDC与α，β分别交于AC，BD， ∴AC∥BD. AECF
又＝，∴EF∥AC∥BD.∴EF∥平面β. EBFD
AE
(2)若AB与CD异面，如图所示，连结BC并在BC上取一点G，使得
EB
CG
＝，则在△BAC中，EG∥AC，而AC?平面α，EG?平面α， GB∴EG∥α.又α∥β，∴EG∥β.
同理可得GF∥BD，而BD?β，GF?β， ∴GF∥β.
又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β. 又EF?平面EGF，∴EF∥平面β. 综合(1)(2)得EF∥平面β.
4.如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
(1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 证明：(1)设BD中点为O，连结OC，OE，则由BC＝CD知，CO⊥BD.
又已知CE⊥BD，CO∩CE＝C，所以BD⊥平面OCE. 所以BD⊥OE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE＝DE. (2)取AB中点为N，连结MN，MD，DN， ∵M是AE的中点，∴MN∥BE. ∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB， 由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°， 所以∠ABC＝60°＋30°＝90°，即BC⊥AB， 所以ND∥BC，又因为MN∩DN＝N， BE∩BC＝B，所以平面MND∥平面BEC， 故DM∥平面BEC.
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2018-2019数学苏教版必修2 第1章1.2.4第一课时 两平面平行 作业
