第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系
一、教学目标 1.核心素养
培养数学抽象，形成逻辑推理能力． 2.学习目标
（1）了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题． （2）命题的四种形式． 3.学习重点
了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题． 4.学习难点
明白四种命题之间的关系，会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
任务： 阅读教材P1－P4，思考：如何判断命题的真假？四种命题之间有什么关系？
2．预习自测
1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集； （2）对数函数是增函数吗？ （3）2x<15； 解：（1）真命题 （2）疑问句，不是命题 （3）不能判断真假，不是命题 2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式. （1）两条直线相交有且只有一个交点； （2）对顶角相等；
（3）全等的两个三角形面积也相等.
解：（1）若两条直线相交，则有且只有一个交点； （2）若两个角是对顶角，则这两个角相等； （3）若两个三角形全等，则它们的面积相等. 3．命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（ ） A.若a-1≤b-1,则a≤b B.若a C.若a-1>b-1,则a>b D.若a≤b,则a-1≤b-1 答案：A 解析：命题“若p,则q”的逆否命题为“若q,则p”. （二）课堂设计 1．知识回顾 在生活中，我们接触了哪些具体的命题？请大家阅读教材P2中所列举的6个命题例子，并试着列举生活与学习中的命题例子． 2．问题探究 问题探究一 命题的含义 1. 什么是命题？ 思考：三位科学家由伦敦去苏格兰参加会议，越过边境不久发现了一只黑羊．“真有意思，苏格兰的羊都是黑的”天文学家谈论道．“这种推断不可靠”数学家应道．我们只能得出”在苏格兰有一些羊是黑色的”这样的结论．逻辑学家马上接着说我们真正有把握的不过是”在苏格兰至少有一个地方有至少一只黑羊”如何判断这些话的真假呢? 阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？ （1）矩形的对角线相等； （2）3>12； （3）3>12吗？ （4）8是24的约数； （5）两条直线相交，有且只有一个交点； （6）他是个高个子. 探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假. 想一想：请大家根据以上结论，思考什么叫做命题？ 一般地，在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题（proposition），其中判断为真的语句叫做__________（true proposition），判断为假的语句叫做__________（false proposition）． 说明：（1）并不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题；也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. （2）一个命题要么为真,要么为假．但不能同时既真又假, 也不能模棱两可, 无法判断其 真假． （3）一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p、q、r等． 问题探究二 命题的四种形式 1.将一个命题改写成“若p，则q”的形式： 在数学中，具有“若p则q”这种形式的命题是常见的，我们把这种形式命题中的p叫做命题的 ，q叫做命题的 ．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p则q”的形式．这样条件和结论就很清楚了． 2.四种命题的概念： 原命题 若p则q 逆命题 否命题 逆否命题 交换原命题的条件和结论，所得的命题是_______；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是_______；为了书写简便，常常把条件p和结论q的否定，分别记作“_______”和“_______”；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是_______．这些结论用于写一个命题的逆命题、否命题与逆否命题十分方便． 问题探究三 四种命题的相互关系与真假 四种命题的相互关系图： 原命题若p则q互否否命题若┐p则┐q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆逆否互逆 一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况： 原命题 真 真 假 假 四种命题的真假关系： __________和__________互为逆否命题；__________和__________互为逆否命题 互为逆否的两个命题真假__________：互逆或互否的两个命题真假__________． 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假 3．课堂总结 【知识梳理】 命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假． 【重难点突破】 掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假． 4．随堂检测 1.命题“若a>b,则2a>2b-1”的逆否命题是________ 【知识点：四种命题】 答案：若2a≤2b-1,则a≤b 互换条件与结论,并进行否定,得其逆否命题“若2a≤2b-1,则a≤b”. 2.给定下列命题： ①“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根”的逆否命题; ②若f(x)=cosx,则f(x)为周期函数; ③“若A=B,则sinA=sinB”的逆命题; ④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题. 其中真命题的序号是________. 【知识点：四种命题】 答案：①②④ 解析：对于①,因为Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以原命题为真.所以①是真命题. 显然②是真命题. ③的逆命题：“若sinA=sinB,则A=B”.是假命题. ④的否命题：“若xy≠0,则x,y都不为零”.是真命题. 3.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B全是锐角”的否命题为（ ） A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角 B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角 C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角 D.以上均不对 【知识点：四种命题】 答案：B 解析：否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B. 【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”. 4.写出命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆命题,否命题及逆否命题,并判断它们的真假. 【知识点：命题真假的判断】 解：逆命题：若a+b是偶数,则a,b都是奇数,是假命题; 否命题：若a,b不都是奇数,则a+b不是偶数,是假命题; 逆否命题：若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数,是真命题. （三）课后作业 ★基础型自主突破 1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) 222A．若a＋b＋c≠3，则a+b+c<3 222B．若a＋b＋c＝3，则a+b+c<3 222C．若a＋b＋c≠3，则a+b+c33 222D．若a+b+c33，则a＋b＋c＝3 【知识点：四种命题】 答案：A. 解析：由于一个命题的否命题既否定条件又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3， 222则a+b+c<3”． π 2．命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是（ ） π A．若α≠4，则tan α≠1 π B．若α＝4，则tan α≠1 π C．若tan α≠1，则α≠4 π D．若tan α≠1，则α＝4 【知识点：四种命题】 答案：C ππ 解析：命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”．
人教课标版高中数学选修1-1：《命题及其关系》教案-新版
