AAFCDBCDGBE
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐,本题尽管已
知条件不是等腰直角三角形,但∵∠BAC=45°,若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90°的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】 以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB,再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC.
可知BE=BD=3,FC=CD=2,
延长EB、FC交点G,∵∠BAC=45°, 由对称性,可得∠EAF=90°,且AE=AD=AF, 易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD, 设AD=x,则BG=x-3,CG=x-2,
在Rt△BCG中,由勾股定理,得?x?2???x?3??52, 解得x=6,即AD=6.
【探究五】求最小值
【备选5】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求
PM+PC的最小值.
APMMAPD22CBC
【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB,可知四
边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连
接CP,则PM+PC的值为最小,最小值为:PM+PC=DM=42?22?25.
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题型二:三垂直模型
常见三垂直模型
例题精讲
【引例】 已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,⑴求证:AC⊥CE;
A ⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形,AB?C1D,
其余条件不变,试判断AC⊥C1E这一结论是否成立?若成立,给予证
明;若不成立,请说明理由.
EAAE1BC2D
EAEAEBC1CDBC1D(C)BC1DCC1BDC① ② ③ ④
【解析】 ⑴∵AB⊥BD,ED⊥BD
∴?B??D?90? 中 在△ABC与△CDE?AB?CD???B??D?BC?DE ?∴△ABC≌△CDE(SAS)
1??E ∴?∵?2??E?90?
∴?ACE?90?,即AC⊥CE
⑵ 图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似,只要证明
△ABC≌△C1DE
∴?ACB??C1ED
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∵?C1ED??DC1E ∴AC⊥C1E ?90? ∴?DC1E??ACB?90?
典题精练
10?,?8,4?,点C在第一象限.求正方【例5】 正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为?0,形边长及顶点C的坐标.(计算应用:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边
的平方.)
yyDD
CC AA2
13 FEBB xOOG
【解析】 过点C作CG⊥x轴于G,过B作BE⊥y轴于E,并反向延长交CG于F
x10?,?8,4?点A、B的坐标分别为?0,∴BE=8, AE=6,∴AB=10
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC ∵?1??3?90??2??3?90?
?1??2∴
∵?AEB??BFC?90?
∴△AEB≌△BFC
∴CF=BE=8,BF=AE=6 ∴CG=12 EF=14
∴C(14,12),正方形的边长为10
【点评】 此题中三垂直模型:
【例6】 如图所示,在直角梯形ABCD中,?ABC?90?,
AD∥BC,AB?BC,E是AB的中点,CE?BD. ⑴ 求证:BE?AD;
⑵ 求证:AC是线段ED的垂直平分线; ⑶ △DBC是等腰三角形吗?请说明理由.
AEMDB
C【解析】⑴∵?ABC?90?,BD?EC,
∴?ECB??DBC?90?,?ABD??DBC?90?,∴?ECB??ABD, ∵?ABC??DAB?90?,AB?BC,
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∴△BAD≌△CBE,∴AD?BE. ⑵∵E是AB中点,∴EB?EA
由⑴得:AD?BE,∴AE?AD
∵AD∥BC,∴?CAD??ACB?45?, ∵?BAC?45?,∴?BAC??DAC
由等腰三角形的性质,得:EM?MD,AM?DE 即AC是线段ED的垂直平分线. ⑶△DBC是等腰三角形,CD?BD
由⑵得:CD?CE,由⑴得:CE?BD ∴CD?BD,∴△DBC是等腰三角形.
巅峰突破
【例7】 ⑴如图1,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出∠APD的度数= ; ⑵如图2,Rt△ABC中,∠B=90°,M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC、BM=CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想∠APM= °,并写出你的推理过程.
CC
NP
AABBM
图1图2
C【解析】 ⑴图略,60°
⑵45°
N证明:作AE⊥AB且AE?CN?BM. PE可证△EAM≌△MBC
∴ME?MC,?AME??BCM.
∵?CMB??MCB?90?,∴ ?CMB??AME?90?. ∴ ?EMC?90?.
∴ △EMC是等腰直角三角形,?MCE?45?. 又△AEC ≌△CAN(SAS) ∴ ?ECA??NAC. ∴ EC∥AN.
∴ ?APM??ECM?45?.
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复习巩固
题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习 【练习1】 如图,△ACB、△ECD均为等腰直角三角形,则图中与△
BDC全等的三角形为_________.
【解析】 △AEC
CEADB【练习2】 如图,已知Rt△ABC中?ACB?90°,AC?BC,D是
BC的中点,CE?AD,垂足为E.BF∥AC,交CE的延长线于点F.求证:AC?2BF.
C【解析】 ∵?ACB?90°,BF∥AC,
∴?ACD??CBF?90°,
DE?ADC??CAD?90°.
∵CE?AD, BA∴?FCB??ADC?90°, ∴?CAD??FCB. F又∵AC?CB,
∴△ADC≌△CFB. ∴DC?FB.
∵D是BC的中点, ∴BC?2BF, 即AC?2BF. 题型二 三垂直模型 巩固练习
【练习3】 已知:如图,四边形ABCD是矩形(AD>AB),点E在BC上,且AE =AD,DF⊥AE,垂
足为F.请探求DF与AB有何数量关系?写出你所得到的结论并给予证明.
A D
【解析】 经探求,结论是:DF = AB.
证明如下:
∵四边形ABCD是矩形,
F ∴ ∠B = 90o , AD∥BC, B
E C ∴ ∠DAF = ∠AEB.
∵ DF⊥AE, ∴ ∠AFD = 90o,
∵ AE = AD ,
∴△ABE≌△DFA. ∴ AB = DF.
【练习4】 如图,△ABC中,AC?BC,?BCA?90°,D是AB上任意一点,
AE?CD交CD延长线于E,BF?CD于F.求证:EF?BF?AE.
【解析】 根据条件,?ACE、?CBF都与?BCF互余,
∴?ACE??CBF.
AEDFCB