AAFCDBCDGBE
【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已
知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．
【解析】 以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．
可知BE=BD=3，FC=CD=2，
延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°， 由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF， 易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD， 设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，
在Rt△BCG中，由勾股定理，得?x?2???x?3??52， 解得x=6，即AD=6．
【探究五】求最小值
【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求
PM+PC的最小值．
APMMAPD22CBC
【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知四
边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于点P，连
接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=42?22?25．
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题型二：三垂直模型
常见三垂直模型
例题精讲
【引例】 已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；
A ⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，AB?C1D，
其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证
明；若不成立，请说明理由.
EAAE1BC2D
EAEAEBC1CDBC1D(C)BC1DCC1BDC① ② ③ ④
【解析】 ⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD
∴?B??D?90? 中 在△ABC与△CDE?AB?CD???B??D?BC?DE ?∴△ABC≌△CDE（SAS）
1??E ∴?∵?2??E?90?
∴?ACE?90?,即AC⊥CE
⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明
△ABC≌△C1DE
∴?ACB??C1ED
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∵?C1ED??DC1E ∴AC⊥C1E ?90? ∴?DC1E??ACB?90?
典题精练
10?，?8，4?，点C在第一象限．求正方【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为?0，形边长及顶点C的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边
的平方.）
yyDD
CC AA2
13 FEBB xOOG
【解析】 过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F
x10?，?8，4?点A、B的坐标分别为?0，∴BE=8， AE=6，∴AB=10
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC ∵?1??3?90??2??3?90?
?1??2∴
∵?AEB??BFC?90?
∴△AEB≌△BFC
∴CF=BE=8，BF=AE=6 ∴CG=12 EF=14
∴C(14，12)，正方形的边长为10
【点评】 此题中三垂直模型：
【例6】 如图所示，在直角梯形ABCD中，?ABC?90?，
AD∥BC，AB?BC，E是AB的中点，CE?BD． ⑴ 求证：BE?AD；
⑵ 求证：AC是线段ED的垂直平分线； ⑶ △DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
AEMDB
C【解析】⑴∵?ABC?90?，BD?EC，
∴?ECB??DBC?90?，?ABD??DBC?90?，∴?ECB??ABD， ∵?ABC??DAB?90?，AB?BC，
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∴△BAD≌△CBE，∴AD?BE． ⑵∵E是AB中点，∴EB?EA
由⑴得：AD?BE，∴AE?AD
∵AD∥BC，∴?CAD??ACB?45?， ∵?BAC?45?，∴?BAC??DAC
由等腰三角形的性质，得：EM?MD，AM?DE 即AC是线段ED的垂直平分线． ⑶△DBC是等腰三角形，CD?BD
由⑵得：CD?CE，由⑴得：CE?BD ∴CD?BD，∴△DBC是等腰三角形．
巅峰突破
【例7】 ⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数= ； ⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程．
CC
NP
AABBM
图1图2
C【解析】 ⑴图略，60°
⑵45°
N证明：作AE⊥AB且AE?CN?BM. PE可证△EAM≌△MBC
∴ME?MC，?AME??BCM.
∵?CMB??MCB?90?,∴ ?CMB??AME?90?. ∴ ?EMC?90?.
∴ △EMC是等腰直角三角形,?MCE?45?. 又△AEC ≌△CAN（SAS） ∴ ?ECA??NAC. ∴ EC∥AN.
∴ ?APM??ECM?45?.
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复习巩固
题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习 【练习1】 如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与△
BDC全等的三角形为_________.
【解析】 △AEC
CEADB【练习2】 如图，已知Rt△ABC中?ACB?90°，AC?BC，D是
BC的中点，CE?AD，垂足为E．BF∥AC，交CE的延长线于点F．求证：AC?2BF．
C【解析】 ∵?ACB?90°，BF∥AC，
∴?ACD??CBF?90°，
DE?ADC??CAD?90°．
∵CE?AD， BA∴?FCB??ADC?90°， ∴?CAD??FCB． F又∵AC?CB，
∴△ADC≌△CFB． ∴DC?FB．
∵D是BC的中点， ∴BC?2BF， 即AC?2BF． 题型二 三垂直模型 巩固练习
【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥AE，垂
足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．
A D
【解析】 经探求，结论是：DF = AB．
证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
F ∴ ∠B = 90o ， AD∥BC， B
E C ∴ ∠DAF = ∠AEB．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD = 90o，
∵ AE = AD ，
∴△ABE≌△DFA． ∴ AB = DF．
【练习4】 如图，△ABC中，AC?BC，?BCA?90°，D是AB上任意一点，
AE?CD交CD延长线于E，BF?CD于F．求证：EF?BF?AE．
【解析】 根据条件，?ACE、?CBF都与?BCF互余，
∴?ACE??CBF．
AEDFCB
等腰直角三角形模型、三垂直模型
