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全等三角形的经典模型（一）
题型一：等腰直角三角形模型
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等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45?，45?）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.
CC
45°45°A
BADB 图1 图2
图3 图4
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。
典题精练
【例1】 已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，?BAC?90°，O为BC的中点，
B⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要
求证明）
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论. N⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持
AAN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA=OB=OC
⑵连接OA,
∵OA=OC ?BAO??C?45° AN=CM ∴△ANO≌△CMO
∴ON=OM
∴?NOA??MOC
∴?NOA??BON??MOC??BON?90? ∴?NOM?90?
∴△OMN是等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点 ∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°， ∴AO=BO=OC，
∵在△ANO和△CMO中， ?AN?CM???BAO??C ?AO?CO?BOMCONACMNBO∴△ANO≌△CMO（SAS） ∴ON=OM，∠AON=∠COM， 又∵∠COM?∠AOM=90°， ∴△OMN为等腰直角三角形．
【例2】 两个全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，如
图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的
中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
【解析】△EMC是等腰直角三角形． 证明：连接AM．由题意，得 oDE?AC,?DAE??BAC?90o,?DAB?90. ∴△DAB为等腰直角三角形. ∵DM?MB，
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∴MA?MB?DM,?MDA??MAB?45o．
∴?MDE??MAC?105o，
∴△EDM≌△CAM．
∴EM?MC,?DME??AMC．
又?EMC??EMA??AMC??EMA??DME?90o． ∴CM?EM，
∴△EMC是等腰直角三角形．
【例3】 已知：如图，△ABC中，AB?AC，?BAC?90°，D是AC的中
A点，AF?BD于E，交BC于F，连接DF． 求证：?ADB??CDF． 【解析】 证法一：如图，过点A作AN?BC于N，交BD于M．
∵AB?AC，?BAC?90°， ∴?3??DAM?45°．
∵?C?45°，∴?3??C．
∵AF?BD，∴?1??BAE?90°
∵?BAC?90°，∴?2??BAE?90°． ∴?1??2．
在△ABM和△CAF中， ???1??2?AB?AC ???3??C∴△ABM≌△CAF．∴AM?CF． 在△ADM和△CDF中， ??AD?CD??DAM??C ??AM?CF∴△ADM≌△CDF． ∴?ADB??CDF．
证法二：如图，作CM?AC交AF的延长线于M． ∵AF?BD，∴?3??2?90°， ∵?BAC?90°， ∴?1??2?90°， ∴?1??3．
在△ACM和△BAD中， ???1??3?AC?AB ???ACM??BAD?90°∴△ACM≌△BAD．
∴?M??ADB，AD?CM ∵AD?DC，∴CM?CD． 在△CMF和△CDF中，
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等腰直角三角形模型、三垂直模型
