习题五
5-1 有一弹簧振子，振幅A?2.0?10m，周期T?1.0s，初相??移、速度和加速度方程。
解：振动方程为
?23?.试写出它的振动位4x?Acos(?t??)?Acos(代入有关数据得
2?t??) Tx?0.02cos(2?t?振子的速度和加速度分别是
3?)(m) 4v?dx3???0.04?sin(2?t?)(m?s?1) dt4d2x3?a?2??0.08?2cos(2?t?)(m?s?2)
dt45-2一弹簧振子的质量为0.500kg，当以35.0cm的振幅振动时，振子每0.500s重复一次运动.求振子的振动周期T、频率ν、角频率ω、弹簧的倔强系数k、物体运动的最大速率vmax、和弹簧给物体的最大作用力Fmax.
解：由题意可知 T?0.500s；
所以频率 v?1/T?2.00Hz；
角频率 ??2?v=4?=12.6(rad?s)；
倔强系数 k?m??0.500?12.6?79.4(N?m)；
?1 最大速率 vmax?A??0.35?12.6?4.41(m?s)
22 最大作用力 Fmax?mamax?mA??0.500?0.35?12.6?27.8(N)
?122?1
5-3质量为2kg的质点，按方程x?0.2cos(5t?（1）t?0时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.
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?6)(m)沿着x轴振动.求：
解：（1）跟据牛顿第二定律
d2x?f?m2??m?2x，x?0.2cos(5t?)(m)
dt6将t?0代入上式中，得：
f?5.0N
（2）由f??m?x可知，当x??A??0.2m时，质点受力最大，为f?10.0N 5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d（从最高水平到最低水平）做简谐运动，
周期为12.5h.求水从最高处下降了d/4高度需要多少时间？
解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见
2??arccos(d/4?)? d/23解图5-4
t????/3??12.5?2.08(h) ?2?/T2??2
5-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅A?2.0?10m，周期T?0.5s，当t?0时，则：
（1）物体在正方向端点；
（2）物体在平衡位置，向负方向运动；
（3）物体在x?1.0?10m处，向负方向运动； （4）物体在x??1.0?10m处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。
解：设所求振动方程为
?2?2x?Acos(2?t??)?0.02cos(4?t??) T由旋转矢量图解图5-5可求出初相位
?1?0,?2??/2,?3??/3,?4?2?/3
（1）x?0.02cos4?t(m) （2）x?0.02cos(4?t?（3）x?0.02cos(4?t??2解图5-5
)(m) )(m)
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（4）x?0.02cos(4?t?2?)(m) 35-6在一轻弹簧下端悬挂m0?100g砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂
?1构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm?sm?250g的物体，
的初速度（令这时t?0）.选x轴向下为正，求振动方程.
解：弹簧的劲度系数
k?m0g/?l
该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为
x?Acos(?t??)
角频率为??k/m代入数据后求得
??7rad?s?1
以平衡位置为原点建立坐标，则
x0?0.04m,v0??0.21m?s?1
由A?x02?(v0/?)2得
A?0.05m
据???cos?1x0得 A???0.64rad
由于v0?0,应取??0.64rad，于是，所求方程为
x?0.05cos(7t?0.64)(m)
5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5-7所示.求： （1）质点的振动方程；
（2）质点从t?0的位置到达P点相应位置所需的最短时间.
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解：（）设所求方程为：1x?Acos(?t??0)从图中可见，t?0,x0?A/2,v0?0由旋转矢量法可知；?0??又?t?1s,?t??3
?3??2??5?6题图5-7
5??t?)(m)63（2）P点的相位为0故：x?0.1cos(??tp??0?5??tp??0tp?0.4s 63即质点到达P点相应状态所要的最短时间为0.4s?25-8有一弹簧，当下面挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8?10m.若使弹簧上下振动，且规定向下为正方向.
（1）当t?0时，物体在平衡位置上方8.0?10m，由静止开始向下运动，求振动方程. (2) 当t?0时，物体在平衡位置并以0.6m?s的速度向上运动，求振动方程.
解：设所求振动方程为
?1?2x?Acos(?t??)
其中角频率??k/m?mg/m??lg，代入数据得 ?l??10rad?s?1
（1） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有
x0??0.08m,v0?0
据A?x02?(v0/?)2得
A?0.08m
据???cos?1x0得????，由于v0＝0，不妨取???于是，所求方程为 Ax1?0.08cos(10t??)(m)
（2） 以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有
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x0?0,v0??0.6m?s?1
据A?x02?(v0/?)2得
A?0.06m
据???cos?1x0??得???，由于v0?0，应取??，于是，所求方程为 A22x2?0.06cos(10t?)(m)
25-9 一质点沿x 轴做简谐运动，振动方程为x?4?10cos(2?t??2??3)(m)，求：从t?0时
刻起到质点位置在x??2cm处，且向x轴正方向运动时的最短时间.
解: 依题意有旋转矢量图（解图5-9），从图中可得到
????
而
?????t?2?(t0?0)
故所求时间为
t0?
??1?s ?2解图5-9
5-10两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为A/2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差.
解：由于x10?A/2、v10?0可求得
?1??/4
由于x20?A/2、v20?0可求得
?2???/4
如解图5-10所示，相位差
解图5-10
????1??2??/2
5-11一简谐运动的振动曲线如题图5-11所示，求振动方程.
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题图5-11
新编基础物理学第二版第五章习题解答
