第7章 不等式、推理与证明
全国卷五年考情图解 1.考查形式 本章在高考中一般考查1～2道小题，分值5～10分. 2.考查内容 从考查内容来看，对不等式解法的考查隐含在集合、函数、数列等问题中，对线性规划的考查重点考查求目标函数的最值问题. 3.备考策略 (1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律 高考命题规律把握 ①一元二次不等式的解法问题； ②线性规划问题； ③基本不等式求最值问题. (2)重视数形结合、分类讨论、转化化归思想的应用. 第一节 不等式的性质与一元二次不等式 [最新考纲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．
(对应学生用书第107页)
1．两个实数比较大小的方法
a－b＞0?a＞b，??
(1)作差法?a－b＝0?a＝ba，b∈R，
??a－b＜0?a＜b.
??a(2)作商法?＝1?a＝ba∈R，b＞0
ba??b＜1?a＜b.
2．不等式的性质 (1)对称性：a>b?b a＞1?a＞b，b， (2)传递性：a>b，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b，c<0?ac (5)乘方法则：a>b>0?a>b(n≥2，n∈N)； (6)开方法则：a>b>0? nnnna>b(n≥2，n∈N)； ab11 (7)倒数性质：设ab>0，则a bb＋m； aa＋mbb＋m. aa＋m2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间． 3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max. 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＞b?ac＞bc. 22 2 ( ) ( ) (2)若不等式ax＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0. (3)若方程ax＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax＋bx＋c＞0的解集为R. (4)不等式ax＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b－4ac≤0. [答案](1)× (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编 1．函数f(x)＝3x－x的定义域为( ) A．[0,3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞) A [要使函数f(x)＝3x－x有意义， 则3x－x≥0， 即x－3x≤0， 解得0≤x≤3.] 2．设A＝(x－3)，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( ) A．A≥B C．A≤B B [∵A－B＝(x－3)－(x－2)(x－4) ＝x－6x＋9－x＋6x－8＝1＞0， ∴A＞B，故选B.] 3．设b B．ac 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( ) B．(0,3) D．(－∞，0)∪(3，＋∞) B．A＞B D．A＜B C [由同向不等式具有可加性可知C正确．] ???11 4．若不等式ax＋bx＋2＞0的解集为?x?－＜x＜ 3??2? 2 ?? ?，则a＋b＝________. ?? 112 －14 [由题意知x1＝－，x2＝是方程ax＋bx＋2＝0的两个根， 23 ?? 则?211 ＝－??a2×3， ??a＝－12，解得? ?b＝－2? b11－＝－＋，a23 (经检验知满足题意)． ∴a＋b＝－14.] (对应学生用书第108页) ⊙考点1 比较大小与不等式的性质 比较大小的五种常用方法 (1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)． (2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号． (3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较． (4)不等式的性质法． (5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论． 1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是( ) A．a＋c≥b－c C．ac＞bc B．(a－b)c≥0 D.≤ 2 bb＋c aa＋c2 2 B [(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c≥0，所以(a－b)c≥0.故选B.] b2a2 2．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( ) abA．p B．p≤q D．p≥q b2a2 B [法一： (作差法)p－q＝＋－a－b abb2－a2a2－b2?11?22＝＋＝(b－a)·?－? ab?ab? ＝ b2－a2 abb－a＝ b－a2 b＋aab， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p 法二： (特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C; 令a＝－1，b＝－2，则p 3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则( ) A．ln(a－b)＞0 C．a－b＞0 3 3 B．3＜3 D．|a|＞|b| abC [法一：由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3在R上单调递增，所以当a>b时，3>3，故B不正确；因为函数y＝x在R上单调递增，所以当 xab3 a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b 法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3＞3，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.] 4．设f(x)＝ax＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________． [5,10] [法一：(待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－ 2 ab b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. ??m＋n＝4，于是得? ?n－m＝－2，? ??m＝3， 解得? ?n＝1.? ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. ??f法二：(运用方程思想)由? ?f? －1＝a－b，1＝a＋b，]，]， 1 a＝[f??2得?1 b＝??2[f－1＋f11－f－1 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10. ??1≤a－b≤2，法三：(借助线性规划)由? ??2≤a＋b≤4 确定的平面区域如图阴影部分所示， ?31?当f(－2)＝4a－2b过点A?，?时， ?22? 31 取得最小值4×－2×＝5， 22当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.] (1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2， T3. (2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4. ⊙考点2 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤 q
2021高考数学一轮复习第7章不等式推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式教学案文
