DBFQ DFDF ZHUOYUE 函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结
函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。
一、命题热点
分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
2012年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
二、知识点总结
1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；
a?ba2?b2⑥利用均值不等式 ab?； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；?22⑧利用函数有界性（a、sin?、cos?等）；⑨平方法；⑩ 导数法
3．复合函数的有关问题:
（1）复合函数定义域求法：
① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域. （2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性:
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ．．．．⑵f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)；f(x)是偶函数?f(?x)?f(x). ⑶奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)?0
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性 ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性 6．函数的单调性: ⑴单调性的定义：
①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)； ②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；
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DBFQ DFDF ZHUOYUE ⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性：
(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有f?x?T??f?x? （其中T为非零常数），则称函数f(x)为
周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期： ①y?sinx:T?2?；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??；④y?Asin(?x??),y?cos(?x??):T?2??；⑤y?tan?x:T?? ?(3)与周期有关的结论：f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)的周期为2a 8．基本初等函数的图像与性质：
⑴指数函数：y?ax(a?0,a?1)；⑵对数函数:y?logax(a?0,a?1)；
?⑶幂函数：y?x （??R) ；⑷正弦函数:y?sinx；⑸余弦函数：y?cosx ；
2（6）正切函数：y?tanx；⑺一元二次函数：ax?bx?c?0（a≠0）；
⑻其它常用函数：正比例函数：y?kx(k?0)；反比例函数：y? ㈡.
⑴分数指数幂：amnka(k?0)；③函数y?x?(a?0)xx
?a；anm?mn?1amn（以上a?0,m,n?N，且n?1）.
?⑵.①ab?N?logaN?b； ②loga?MN??logaM?logaN；
Mn?logaM?logaN； ④logambn?logab. NmlogmNlogN⑶.对数的换底公式:logaN?.对数恒等式:aa?N.
logma③loga9．二次函数：
⑴解析式：①一般式：f(x)?ax?bx?c；②顶点式：f(x)?a(x?h)?k，(h,k)为顶点； ③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) （a≠0）.
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
22?b4ac?b2b二次函数y?ax?bx?c的图象的对称轴方程是x??，顶点坐标是??，?2a4a?2a2四川特产 WWW.128TC.COM/LIST_24.HTML 输血反应 WWW.SHUXUEJISHU.COM 葡*京*娱*乐*场 PUJINGYULECHANG.ME
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DBFQ DFDF ZHUOYUE 10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法 ⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ)y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右“－”； ⅱ)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0) ———上“+”下“－”；
??y??f(?x)；ⅱ)y?f(x)???y??f(x)； ② 对称变换：ⅰ)y?f(x)???x?f(y)； ⅲ) y?f(x)???y?f(?x)； ⅳ)y?f(x)???③ 翻折变换：
ⅰ)y?f(x)?y?f(|x|)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）；
ⅱ)y?f(x)?y?|f(x)|———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明：
(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然。
注：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0 ②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=
x?0y?x(0,0)y?0a?b对称； 2特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=a对称. ③y?f(x)的图象关于点(a,b)对称?f?a?x??f?a?x??2b. 特别地：y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f?a?x???f?a?x?. ④函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称; 函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。 12．函数零点的求法：
⑴直接法（求f(x)?0的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
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高中数学函数概念与基本初等函数知识点总结
