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任意四边形、梯形与相似模型
例题精讲
板块三 相似三角形模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
AEAFDDB①
FGEC
BGC
ADAEDEAF； ???ABACBCAG②S△ADE：S△ABC?AF2:AG2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB?16，AD?10，BE?4，那么FC的长度是多少？
DFABEC
【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以
4BF:FC?BE:CD?4:16?1:4，所以FC?10??8．
1?4【答案】8
【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE平行AB)，那么小玻璃管口径DE是多大？
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BE
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有一个金字塔模型，所以DE:AB?DC:AC，DE:15?40:60，所以DE?10厘米． 【答案】10
【例 3】 如图，DE平行BC，若AD:DB?2:3，那么S△ADE:S△ECB?________．
ADBEA0D10203040C5060
C【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据金字塔模型AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:(2?3)?2:5，S△ADE:S△ABC?22:52?4:25， 设S△ADE?4份，则S△ABC?25份，S△BEC?25?5?3?15份，所以S△ADE:S△ECB?4:15． 【答案】4:15
【例 4】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，AD?DF?FB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB? ．
ADFBEGC
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设S△ADE?1份，根据面积比等于相似比的平方，所以S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，
S△ADE:S△ABC?AD2:AB2?1:9，因此S△AFG?4份，S△ABC?9份，进而有S四边形DEGF?3份，S四边形FGCB?5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB?1:3:5
【答案】1:3:5
【巩固】如图，DE平行BC，且AD?2，AB?5，AE?4，求AC的长．
ADBE
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由金字塔模型得AD:AB?AE:AC?DE:BC?2:5，所以AC?4?2?5?10 【答案】10
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C....
【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，AD?DF?FM?MP?PB，
则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB? ．
ADFMEGNQCPB
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设S△ADE?1份，S△ADE:S△AFG?AD2:AF2?1:4，因此S△AFG?4份，进而有S四边形DEGF?3份，同理有
S四边形FGNM?5份，S四边形MNQP?7份，S四边形PQCB?9份．
所以有S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB?1:3:5:7:9
【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列． 【答案】1:3:5:7:9
【例 5】 已知△ABC中，DE平行BC，若AD:DB?2:3，且S梯形DBCE比S△ADE大8.5cm2，求S△ABC．
ADBE
C【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据金字塔模型AD:AB?DE:BC?2:(2?3)?2:5，S△ADE:S△ABC?22:52?4:25，设S△ADE?4份，
则S△ABC?25份，S梯形DBCE?25?4?21份，S梯形DBCE比S△ADE大17份，恰好是8.5cm2，所以S△ABC?12.5cm2
【答案】12.5
【例 6】 如图：MN平行BC， S△MPN:S△BCP?4:9，AM?4cm，求BM的长度
AMPBCN
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在沙漏模型中，因为S△MPN:S△BCP?4:9，所以MN:BC?2:3，在金字塔模型中有：
AM:AB?MN:BC?2:3，因为AM?4cm，AB?4?2?3?6cm，所以BM?6?4?2cm
【答案】2
【巩固】如图，已知DE平行BC，BO:EO?3:2，那么AD:AB?________．
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ADBOCE
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 由沙漏模型得BO:EO?BC:DE?3:2，再由金字塔模型得AD:AB?DE:BC?2:3． 【答案】2:3
11【例 7】 如图，那么?AED?ABC中，AE?AB，AD?AC，?EOD的面积是1平方厘米．ED与BC平行，
44的面积是 平方厘米．
AEOD
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空
11【解析】 因为AE?AB，AD?AC，ED与BC平行，
44根据相似模型可知ED:BC?1:4，EO:OC?1:4，S?COD?4S?EOD?4平方厘米， 则S?CDE?4?1?5平方厘米，
15又因为S?AED:S?CDE?AD:DC?1:3，所以S?AED?5??(平方厘米)．
335【答案】
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【例 8】 如下图，正方形ABCD边长为l0厘米，BO长8厘米。AE=____厘米。
ABBCODEC
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分 【解析】 △AOB与△EDA相似，对应边成比例。AB：BO?AE：AD，AE?AB×AD÷BO?10×10÷8?12.5(厘
米)。
【答案】12.5
【例 9】 如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线AC，交BE于点O，
则三角形AOB的面积是（ ）平方厘米。
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A、24 B、36 C、48 D、60
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，五年级，初赛 【解析】 C 【答案】C
【例 10】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几倍？
CFCBOADBOAD
【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BC，易知OA∥EF，根据相似三角形性质，可知OB:OD?AE:AD，且OA:BE?DA:DE?1:2，
11所以CDO的面积等于CBO的面积；由OA?BE?AC可得CO?3OA，所以
24SCDO?SCBO?3SABO，即CDO的面积是ABO面积的3倍．
【答案】3
【例 11】 图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?
E101010【考点】相似三角形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．
DCxGAx10x10x10B
设△AEG的面积为x，显然△EBG、△BFG、△FCG的面积均为x，则△ABF的面积为3x，
1100400S?ABF??20?10?100即x?，那么正方形内空白部分的面积为4x?.
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(小学奥数)4-3-5 任意四边形、梯形与相似模型(三).教师版
