高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案

高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题

及答案

高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容：

函数的单调性与函数的奇偶性 二. 教学目标：

（1）理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题。

（2）掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题。 三. 教学重点：

函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。 四. 教学难点：

函数单调性与奇偶性的运用。 五. 知识归纳： （一）概念

1. 函数单调性的定义：对于函数 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ，⑴若当 时，都有 ，则说 在这个区间上是增函数；⑵若当 时，都有 ，则说 在这个区间上是减函数.

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2. 函数奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 3. 奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称；

（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点对称；

4. 为偶函数 .

5. 若奇函数 的定义域包含 ，则 . （二）主要方法：

1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2. 判断函数的单调性的方法有： （1）用定义；

（2）用已知函数的单调性； （3）利用函数的导数. 3. 注意函数单调性的应用；

4. 判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； 5. 牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；

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6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， 。 7. 设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇. 【典型例题】

例1. 判断下列各函数的奇偶性： （1） ； （2） ； （3） .

解：（1）由 ，得定义域为 ，关于原点不对称 为非奇非偶函数。 （2）由 得定义域为 为偶函数

（3）当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ，

综上所述，对任意的 ，都有 ， 为奇函数. 例2. （1）求函数 的单调区间；

（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性. 解：（1）单调增区间为： 单调减区间为 ， （2） ， ，

令 ，得 或 ，令 ， 或 单调增区间为 ；单调减区间为 例3. 已知函数 对一切 ，都有

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（1）求证： 是奇函数； （2）若 ，用 表示 。

解：（1）显然 的定义域是 ，它关于原点对称。在 中， 令 ，得 ，令 ，得 ，即 是奇函数.

（2）由 ， 及 是奇函数， 得 。

例4. （1）已知 是 上的奇函数，且当 时， ，则 的解析式为 。

（2）（《高考 计划》考点3“智能训练第4题”）已知 是偶函数， ，当 时， 为增函数，若 ，且 ，则 （ ） 例5. 设 ， 是 上的偶函数。 （1）求 的值；

（2）证明 在 上为增函数。 解：（1）依题意，对一切 ，有 即

对一切 成立，则 （2）设 ，则 由 得 ，

即 ， 在 上为增函数。

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例6. 已知函数 的定义域是 的一切实数，对定义域内的任意 都有 ，且当 时 。 （1）求证： 是偶函数； （2） 在 上是增函数； （3）解不等式 。 解：（1）令 ，得 ，令 ，得 ， 是偶函数。 （2）设 则 即 ，

在 上是增函数。 （3） ，

∵ 是偶函数，不等式 可化为 又∵函数在 上是增函数 解得： ，

即不等式的解集为 。

例7. 函数 在 上是增函数，求 的取值范围。 分析：由函数 在 上是增函数可以得到两个信息： ①对任意的 总有 ； ②当 时， 恒成立。 解：∵函数 在 上是增函数

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