高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题
及答案
高二数学函数的单调性与函数的奇偶性苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容:
函数的单调性与函数的奇偶性 二. 教学目标:
(1)理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题。
(2)掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利用函数的奇偶性解决问题。 三. 教学重点:
函数单调性的判断和函数单调性的应用。函数奇偶性的定义及应用。 四. 教学难点:
函数单调性与奇偶性的运用。 五. 知识归纳: (一)概念
1. 函数单调性的定义:对于函数 的定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 ,⑴若当 时,都有 ,则说 在这个区间上是增函数;⑵若当 时,都有 ,则说 在这个区间上是减函数.
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2. 函数奇偶性的定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。 3. 奇偶函数的性质: (1)定义域关于原点对称;
(2)偶函数的图象关于 轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
4. 为偶函数 .
5. 若奇函数 的定义域包含 ,则 . (二)主要方法:
1. 讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集;
2. 判断函数的单调性的方法有: (1)用定义;
(2)用已知函数的单调性; (3)利用函数的导数. 3. 注意函数单调性的应用;
4. 判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响; 5. 牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
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6. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。 7. 设 , 的定义域分别是 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 奇=偶偶+偶=偶,偶 偶=偶,奇 偶=奇. 【典型例题】
例1. 判断下列各函数的奇偶性: (1) ; (2) ; (3) .
解:(1)由 ,得定义域为 ,关于原点不对称 为非奇非偶函数。 (2)由 得定义域为 为偶函数
(3)当 时, ,则 , 当 时, ,则 ,
综上所述,对任意的 ,都有 , 为奇函数. 例2. (1)求函数 的单调区间;
(2)已知 若 试确定 的单调区间和单调性. 解:(1)单调增区间为: 单调减区间为 , (2) , ,
令 ,得 或 ,令 , 或 单调增区间为 ;单调减区间为 例3. 已知函数 对一切 ,都有
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(1)求证: 是奇函数; (2)若 ,用 表示 。
解:(1)显然 的定义域是 ,它关于原点对称。在 中, 令 ,得 ,令 ,得 ,即 是奇函数.
(2)由 , 及 是奇函数, 得 。
例4. (1)已知 是 上的奇函数,且当 时, ,则 的解析式为 。
(2)(《高考 计划》考点3“智能训练第4题”)已知 是偶函数, ,当 时, 为增函数,若 ,且 ,则 ( ) 例5. 设 , 是 上的偶函数。 (1)求 的值;
(2)证明 在 上为增函数。 解:(1)依题意,对一切 ,有 即
对一切 成立,则 (2)设 ,则 由 得 ,
即 , 在 上为增函数。
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例6. 已知函数 的定义域是 的一切实数,对定义域内的任意 都有 ,且当 时 。 (1)求证: 是偶函数; (2) 在 上是增函数; (3)解不等式 。 解:(1)令 ,得 ,令 ,得 , 是偶函数。 (2)设 则 即 ,
在 上是增函数。 (3) ,
∵ 是偶函数,不等式 可化为 又∵函数在 上是增函数 解得: ,
即不等式的解集为 。
例7. 函数 在 上是增函数,求 的取值范围。 分析:由函数 在 上是增函数可以得到两个信息: ①对任意的 总有 ; ②当 时, 恒成立。 解:∵函数 在 上是增函数
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高中数学函数的单调性与函数的奇偶性测试题及答案
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