高中数学必修五第三章3.2一元二次不等式及其解法（第2课时）

第2课时 一元二次不等式的应用

1．一元二次不等式的解集 Δ＝b2－4ac Δ＞0 (a＞0) [来源学科网ZXXK]Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c 的图象 有两个相等实根 bx1＝x2＝－ 2a 一元二次方程 有两个相异实根 ax2＋bx＋c＝0 无实根 x1，x2(x1＜x2) 的根 ax2＋bx＋c＞0 ____________ ____________ R 的解集 ax2＋bx＋c≥0 {x|x≤x1 R R 或x≥x2} 的解集 ax2＋bx＋c＜0 {x|x1＜x＜x2} __ 的解集 ax2＋bx＋c≤0 b???x|x＝－? {x|x1≤x≤x2} 2a?的解集 ?【做一做1】 不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( ) 21?21???

A.?x|－3≤x≤2? B.?x|x≤－3或x≥2? ????

1?2???

C.?x|x≥2? D.?x|x≤－3? ????2．用程序框图表示一元二次不等式的求解过程

用一个程序框图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的算法过程：

[来源学科网][来源学科网ZXXK]

【做一做2】 集合A＝{x|x－4x＋3＜0}，B＝{x|(x－2)·(x－5)＜0}，则A∩B＝__________.

2

b??

答案：1.{x|xx2} ?x|x≠－2a?

?

?

【做一做1】 B

【做一做2】 {x|2＜x＜3}

一元二次方程的根的分布讨论

剖析：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，判别式Δ＝b2－4ac. (1)定理1：方程没有实数根Δ＜0.

定理2：方程有两个相等的实数根Δ＝0. 定理3：方程有两个不相等的实数根Δ＞0. 定理4：方程有实数根Δ≥0.

(2)设一元二次方程的两个实根为x1，x2，且x1≤x2.

[来源学科网]定理5：x1＞0，x2＞0

?

?x＋x＝－b>0，

a?c?xx＝?a>0.

1

212

Δ＝b2－4ac≥0，

定理6：x1＜0，x2＜0

?

?x＋x＝－b<0，

a?c?xx＝?a>0.

1

212

Δ＝b2－4ac≥0，

定理7：x1＜0＜x2

c

＜0. a

定理8：x1＝0，x2＞0x1＜0，x2＝0

b

c＝0且＜0；

a

b

c＝0且＞0.

a

题型一 求参数的取值范围

【例题1】 关于x的一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根，求实数m的取值范围．

2

分析：根据一元二次方程x－mx＋m＝0没有实数根列出m满足的条件(一元二次不等式)，解不等式得到实数m的取值范围．

反思：已知一元二次方程的根的分布求参数的取值范围的步骤：(1)利用一元二次方程根的分布情况列出参数满足的条件——不等式(组)；(2)解不等式(组)得参数的取值范围．

题型二 实际应用题

【例题2】 政府收购某种农产品的原价是100元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫做税率为10个百分点，即10%)，计划收购a万担；为了减轻农民的负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的取值范围．

分析：税收＝征税总额×税率，先建立税收随税率降低的百分点x变化的函数关系，再用不等式表示不等关系即可．

反思：解不等式应用题，一般可按以下步骤进行：

(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式；

(4)给出实际问题的解． 题型三 易错辨析

【例题3】 关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，求实数a的值． 错解：由于关于x的方程ax2－x－a－1＝0仅有一个实数根，则实数a满足Δ＝1－4a(－

1

a－1)＝0，解得a＝－.

2

错因分析：当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0不是一元二次方程，此时不存在判别式Δ，因此需要对实数a是否等于0进行分类讨论．

反思：讨论关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的分布时，要讨论x2的系数a是否为0，否则易漏解(如本题错解)．

答案：【例题1】 解：由于关于x的一元二次方程x2－mx＋m＝0没有实数根，则实数m满足Δ＝(－m)2－4m＜0，

解得0＜m＜4，

即实数m的取值范围是(0,4)．

2x

1＋?万担，征税总额增【例题2】 解：税率降低x个百分点，则收购量可增加为a??100?

2x10－x1＋?元，税率变为加为100×a?. ?100?100

2x10－x21＋?×由题意，得100×a??100?100≥100×a×10%×83.2%，即x＋40x－84≤0，

解得－42≤x≤2，所以0＜x≤2. 即x的取值范围是(0,2]．

【例题3】 正解：当a＝0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0为－x－1＝0，解得x＝－1，即a＝0满足题意．

当a≠0时，关于x的方程ax2－x－a－1＝0是一元二次方程，则实数a满足Δ＝1－4a(－

1

a－1)＝0，解得a＝－.

2

1

综上所得，a＝0或－.

2

1(2011·吉林长春高三调研)已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B＝( )

A．[－3，－2)∪(1,2] B．(－3，－2]∪(1，＋∞) C．(－3，－2]∪[1,2) D．(－∞，－3)∪(1,2]

2若关于x的一元二次方程x2－(t＋2)x＋

9＝0有两个不相等的实数根，则实数t的取45t万m3.为了既减少木材消耗又保2值范围是__________．

3某地每年销售木材约20万m3，每m3价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量能减少

证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

4若关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x＋m＋5＝0的实数根均是正数，则实数m的取值范围是__________．

5你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗？

答案：1．A 2.(－∞，－5)∪(1，＋∞) 3.[3,5] 4.(－5，－1]

5．解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m，且0＜x＜50. 由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600， 即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.

所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．