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pb?代入：
2?qb?r???pa2?qa?r?b?a?2p??q
解得：??a?b. 254． 证明方程x?3x?1在?1,2?之间有且仅有一个实根．
证明：令f?x??x5?3x?1，f?1??1?3?1?0， f?2??25?6?1?0
所以 f?x??0在?1,2?上至少一个根，又f'?x??5x4?3， 当x??1,2?时f'?x??0，所以单增，因此在?1,2?上至多有一个根. f?x??0在?1,2?上有且仅有一个根.
5． 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0，证明：
至少存在一个??(a,b)，使得f(?)?f?(?)?0. 提示:令
F?x??exf?x?
证明：令F(x)?ef(x)，显然F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，
x 且F?(x)?ex?f(x)?f?(x)? （3分）
F(b)?F(a)
b?a由Larange中值定理，则至少??(a,b)，使得F?(?)?又Qf(a)?f(b)?0 ?f(?)?f?(?)?0
6． 设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)?0，证明存在一点
??(0,a)，使得f(?)??f?(?)?0.提示:令 F?x??xf?x?.
证明：构造辅助函数F(x)?xf(x)， Q f(x)在[0,a]上连续，在(0,a) 内可导
?F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，F?(x)?f(x)?xf?(x)
且F(0)?F(a)?0
由Rolle定理，至少???(0,a)，有F?(?)?0
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即f(?)??f?(?)?0
7． 证明：不论b取何值，方程x?3x?b?0在区间??1,1?上至多有一个实
3根
证：令
f?x??x3?3x?b,f??x??3x2?3?3?x?1??x?1?x???1,1?时，
f??0,f],故f?x?在区间??1,1?上至多有一个实根.
8． 证明：当x?1时，e?x?e.
证明: 令f(x)?e?x?e，显然f(x)在[1,x]上满足Lagrange中值定理的条
xx件，由中值定理，至少存在一点??(1,x)，使得
f(x)?f(1)?(x?1)f?(?)?(x?1)(e??e)
即
f(x)?f(1)?0又即ex?x?e
9． 证明：当x?0时，1?1x?1?x. 21111?x?1证：f?x??1?x?1?x,f??x?????0
2221?x21?x1f?x??f?0??0,即有1?x?1?x.
210． 求证：exx?1?x,x?(0,??)
证明：令f(x)?e?1?x,,x?[0,??)
当x?(0,??)时，f?(x)?ex?1?0
故在区间[0,??)上，f(x)单调递增
从而当x?(0,??)时，f(x)?f(0)?0即ex?1?x
或者：
证明：e?1?x?xf?????2!e?2x?1?x?x?1?x
22……8分
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11． 当x?1时，证明：2x?3?答案参看课本p148 例6 12． 证明：当x?0时， 答案参看课本P132 例1 13． 设a?b?0,n?1， 证明:nbn?11. xx?ln(1?x)?x. 1?x(a?b)?an?bn?nan?1(a?b).
证明：
令f(x)?x，
n 显然f(x)在[b,a]上满足lagrange定理条件，故至少存在一点??(b,a)，使得
f(a)?f(b)?f?(?)(a?b) 即
an?bn?n?n?1(a?b)
又由b???a及n? nbn?1n?1(n?1)的单增性，得
(a?b)?an?bn?nan?1(a?b)
14． 设a?b?0，证明：
a?bba?b?ln? aab证明：令f(x)?lnx，在区间?b,a?上连续，在区间(b,a)内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点???b,a?，使得lna?lnb?1?(a?b)，又
因为0?a?baa?b111??,因此，. ?ln?a?babb15． 证明恒等式arcsinx?arccosx??2,??1?x?1?.
证：令f?x??arcsinx?arccosx 则f?x?在?1,1上连续.在??1,1?内有:
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??.
f??x??11?x2?11?x2?0,f?C
令x?0,C??2,arcsinx?arccosx??2在??1,1?内成立.
再根据f?x?在?1,1上的连续性,可知上式在?1,1上成立. 16． 求函数y?3x2?2x的极值点和单调区间. 解：y??2(x?13????3?1)
32因此，y?3x?2x在定义域(??,??)内有不可导点x1?0和驻点
x2?1
列表 x (??,0) 0 不存在 极小值点 (0,1) 1 (1,??) y? ? ] ? Z 0 极大值点 ? ] y
17． 求函数y?x?5x?3x?5的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：y??3x?10x?3,
易得函数的单调递增区间为(??,)U(3,??),单调减区间(,3). y???6x?10,令y???0，得x? 当???x?23213135. 355时，y???0，因此曲线在(??,]上是凸的；
3355 当?x???时，y???0，因此曲线在[,??)上是凹的，
33520 故(,)是拐点
32718． 试确定a,b,c的值，使曲线y?x?ax?bx?c在（1,?1）为一拐点，
在x?0处有极值，并求曲线的凹凸区间.
解：y??3x?2ax?b y???6x?2a
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232.
(1,?1)为拐点，则0?6?2a ?a?3
由y??0，则3x?6x?b?0 , 代入x?0，则b?0.
2
321?a?b?c??1,c?1
曲线为y?x?3x?1, y???6x?6. 凸区间为(??,?1), 凹区间为(1,??).
19． 求函数y?x4?12lnx?7?的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解： y??4x3(12lnx?7)?x4?12?1?4x3(12lnx?4)， x1313 易得函数的单调递增区间为(e,??),单调减区间(0,e). y???12x2(12lnx?4)?4x3?12? 令y???0，得x?1.
当0?x?1时，y???0，因此曲线在(0,1]上是凸的；
当1?x???时，y???0，因此曲线在[1,??)上是凹的，故(1,?7)是拐点 20． 求函数y?e解：y??earctanxarctanx1?144x2lnx?x?0?， x的单调区间，拐点及凹或凸的区间．
?1>0,因此单调增区间是R, 1?x2 y???earctanx12x?arctanx?1?2x?arctanx?， ?e??e??2222?22?(1?x)?(1?x)??(1?x)?1. 2 令y???0，得x? 当???x? 当
11时，y???0，因此曲线在(??,]上是凹的； 2211?x???时，y???0，因此曲线在[,??)上是凸的，
221arctan12)是拐点 故(,e221． 求函数y?x?2x?1的拐点和凹凸区间. 解：y??4x?6x y???12x?12x?12x(x?1)
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高等数学习题课答案
