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第三章 微分中值定理习题课
一、判断题（每题3分）
1.函数f(x)在x0点处可导，且在x0点处取得极值，那么f?(x0)?0.（ √ ） 2.函数f(x)在x0点处可导，且f?(x0)?0，那么f(x)在x0点处取得极值.（ × ） 3.若x0是f?x?的极值点，则x0是f?x?的驻点. ( × ) 4.函数f?x?在区间?a,b?内的极大值一定大于极小值 . ( × ) 5.若f??(x)?0,x?(a,b),则f?(x)在(a,b)内单调增加 . （ √ ）
6.f?(x0)?0且f??(x0)?0是函数y?f(x)在x0处取得极大值的充要条件. ( × ) 7.函数f?x??xarctanx的图形没有拐点. （ √ ） 8.因为函数y?3x在x?0点不可导，所以?0,0?点不是曲线y?3x的拐点.（ × ）
二、选择题（每题3分）
1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A．e B．lnx C．x D．1?x2 2．对于函数f?x??（A）??2,0?；
x1，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. 21?x（B）?0,1?；
（C）；??1,2?
（D）??2,2?
3. 设函数f(x)??x?1??x?2?sinx，则方程
f?(x)?0在 (0,?)内根的个数（ D ）
(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.
34．已知函数f(x)?x?2x在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的??（ D ）. （A）
1111 （B） （C） （D） 32325.若函数f(x),g(x)在区间(a,b)上的导函数相等，则该两函数在(a,b)上（ C ）.
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A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数 6.y?arcsinx?x 在定义域内( B ).
A. 单调减函数 B.单调增函数 C. 有单调增区间也有单调减区间 D. 没有单调性
7. 函数y?2x?9x?12x?2的单调减少区间是 （ C ）.
32（A）(??,??) （B）(??,1) （C）(1,2) （D）(2,??)
8．设?a,b?内f???x??0，则曲线y?f?x?在?a,b?内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A）上方;
32（B）下方; （C）左方; （D）右方.
9.曲线y?ax?bx的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A）a?b?3,3a?b?0 （C）a?b?2,3a?2b?0
（B）a?b?0,3a?b?0 （D）a?b?0,3a?4b?0
10. 设函数y?f(x)在开区间(a,b)内有f'?x??0且f\?x??0，则y?f(x)在(a,b)内（ C ）
A.单调增加，图像是凹的 B.单调减少，图像是凹的 C.单调减少，图像是凸的 D. 单调增加，图像是凸的
11．函数y?ax?c在区间?0,???内单调增加，则a和c应满足（ C ）.
2（A）a?0且c?0； （C）a?0且c?0；
3（B）a?0且c是任意实数； （D）a?0且c是任意实数.
12． 函数y?x?x?2 在其定义域内（ B ） （A）单调减少 (C) 图形是凹的
(B) 单调增加 (D) 图形是凸的
13．若x0,f?x0?为连续曲线y?f?x?上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A）x0,f?x0?必为曲线的拐点; （C）x0点必为曲线的极值点;
????（B）x0,f?x0?必为曲线的驻点; （D）x?x0必为曲线的拐点.
??
14.函数f(x)?2x?lnx的驻点是（ B ）. （A）x?1 （B）x?1 2 （C）(1,2) (D) (,1?ln2)
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15．函数y?x?ln(1?x)的极值（ D ）. A．是?1?ln2 B．是0 C．是1?ln2 D．不存在
16.设f(x)在x?[0,1]上有f??(x)＜0，则下述正确的是（ A ） ( A ) f?(1)＜f(1)?f(0)＜f?(0); ( B ) f?(0)＜f(1)?f(0)＜f?(1); ( C ) f?(1)＜f?(0)＜f(1)?f(0); ( D ) f?(0)＜f?(1)＜f(1)?f(0) 17.设f(x)具有二阶连续的导数，且lim2f(x)??3,则f(0)是f(x)的
x?0ln(1?x2) （ A ）
（A）极大值； （B）极小值; （C）驻点; （D）拐点.
18.设函数y?f(x)在x?x0处有f??x0?=0,在x?x1处导数不存在，则( C ). A. x?x0,x?x1一定都是极值点 B.只有x?x0可以是极值点
C. x?x0, x?x1都可能不是极值点 D. x?x0,x?x1至少有一个是极值点
三、
1．
解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 求极限
x21?x?sinxx?sinx1?cosx?12?0(1)lim????lim?lim?lim?lim x?0sinxx?0x?0x?02xx?x?0xsinxx22x? （2）lim?1?x?1x?1lnx? ????x=limx?1xlnx??x?1?lnx?1?1?limx?1x?1 ?x?1?lnxlnx?x?limx?1xlnxlnx?11?lim?xlnx?x?1x?1lnx?22
xxe?1e1e?1?x1??1?lim?lim?(3)lim??x ?limxxxxxxx?0x?0x?0?xx?0e?1?e?1?xee?e?xe2x(e?1)??)?lim?lim（4）lim(x?0ln(1?x)x?0x?0xxln(1?x)
11x?ln(1?x)x?ln(1?x)x2
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1? ?limx?01x111?x?lim?lim?x?02x(1?x)x?02(1?x)2x2
(5)limx?0sinx1x?sinx1?cosxx?sinx?lim? ?lim?lim222x?0x?0x?06x6xtanxxtanx3x2xex?2x1ex?11e?1?xe?1?x?lim?lim?lim2? (6)lim2x243x?0x?0x?0x4x2x?0x2x(e?1)
2x22x222tanx?xtanx?xsec2x?1tan2x1?lim?lim?lim? (7)lim2322x?0xln(1?x)x?0x?0x?0x3x3x3
1?1?1ln?1???22x?1x??xx?lim?lim(8)lim ?lim?1
x???arccotxx???arccotxx???x???x2?x1?1?x2(9)limsinx?sinacosx?lim?cosa
x?ax?ax?a11sec27x?7lntan7xtan2x?sec27x?7tan7x(10)lim?lim?lim?121x?0?lntan2xx?0?x?0?tan7x?sec2x?22 sec2x?2tan2x???(11)limx??arctanx?x????2?
??lim2x????arctanx1x?limx????121?x2?limx?1x???1?x21 ?2x2limxln(arctanx)?2? (12)lim?arctanx??ex????x??????
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x22??lim??
?x???1?x2?2??2? ?lim?arctanx??e? .
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tan?x2x?1
(13)lim?2?x?解：lim?2?x?x?1tanx2??e?12?xlimtanxln?2?x?x?12??esinxln?2?x?2lim?x?1cosx2?
limx?1?e
?sin??2x?22?e
??1?(14)lim?x?0??x??
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?e
x?0?lim?lnx1x??ex?0??1x1x2?e0?1
322． 验证罗尔中值定理对函数y?4x?5x?x?2在区间?0,1?上的正确性.
解：f?x?在闭区间?0,1?上连续，在开区间?0,1?内可导，f?0??f?1???2满
足罗尔定理条件.
（3分）
5?13??0,1?，满足罗尔定理12令f??x??12x2?10x?1?0，得x?结论.
3． 试证明对函数y?px?qx?r应用拉格朗日中值定理时所求得的点?总
是位于区间的正中间.
2证明：在区间?a,b?上，
f?b??f?a??f????
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高等数学习题课答案
