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1?C(z?1)2zdz??C1112(z?1)zdzdz?? C2(z?1)2z11?2?i()??2?izz?1(z?1)213z?0
z?0zedz，其中C是正向圆周z?2； （3）．计算?C(1?z)解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?2，由留数定理
?z?2f(z)dz??2?iRes[f(z),?]?2?ic?1 -----（5分）
12z1?z??13zzeze111111????z2(1?????)(1?????) 23231(1?z)z2!z3!zzzz1?z111111??(z?z????)(1??2?3??) 22!3!z4!zzzz2c?1??(1?1?811?)??
32!3!?z?28f(z)dz??2?i
3(z2?1)(z?2)3（4）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有
(sin?z)3极点，请指出它的级.
f(z)的奇点为z?k,k?0,?1,?2,?3,?，?
3z?k,k?0,?1,?2,?3,?为（sin?z）?0的三级零点，
z??1,为f(z)的二级极点，z??2是f(z)的可去奇点， z?0,2,?3,?4?，为f(z)的三级极点；
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?为f(z)的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 四、（本题14分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；
2z(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
解：（1）当0?z?1?1
f(z)?11z2(z?1)?(z?1)[1(1?(z?1)]? 而[1(1?(z?1)???]?[?(z?1)n]??n?0?n(z?1)n?1 n?0?f(z)??n(z?1)n?2 --------6分
n?0（2）当0?z?1
?f(z)?11nz2(z?1)=
z2?(?1)zn
n?0???(?1)zn?2 -----10分
n?0（3）当1?z??
f(z)?11z2(z?1)?z3(1?1z)
1???f(z)?z3(?1)n?n?0z?(?1)n1nn?0z?3 --------14分 五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
??y??(x)?2y?(x)?3y(x)?e?x?y(0)?0,y?(0)?1
. s ..
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解：对y(x)的Laplace变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有
1 …（5分） s?1s2L(s)?1?2sL(s)?3L(s)?整理得
L(s)?s?2 …（7分）
(s?1)(s?1)(s?4)131y(x)??e?x?ex?e?3x …（10分）
488
得分 六、（本题6分）求
?1t?1f(t)??的傅立叶变换，并由此证明：
t?10???t?1??2?sin?cos?td????4t?1? ?0?0t?1?解：F(?)??????e?i?tf(t)dt
F(?)??e?i?tdt -------2分
?11e?i?t??i?1?i?1e?i??ei?? ? 2sin?? ----- 4分
1f(t)?2???????ei?tF(?)d? ----------- 5分
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??11????ei?tsin????2??sin????(cos?t?isin?t)d?
?????sin?cos?t0?d? ? ??i??sin?sin?t???d?
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???0sin?cos?t?d???2f??t?12?(t)=??4t?1 --------------6分 ?0t?1?. s ..
复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案
