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解：对y(x)的Laplace变换记做L(s)，依据Laplace变换性质有
1 …（5分） s2L(s)?s?1?5(sL(s)?1)?4L(s)?s?1整理得
L(s)?1(s?1)(s?1)(s?4)?1s?1 ?110(s?1)?16(s?1)?115(s?4)?1s?1 …（7分） ?15110(s?1)?6(s?1)?15(s?4)y(x)?110e?x?56ex?115e4x …（10分）六、（6分）求
f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：
???cos?t22d???e??t 0???2?解：F(?)?????i?t??t??eedt (??0) --------3分
F(?)??0e?i?t??e?tdt????0e?i?te??tdt (??0)
??0(??i?)tdt??????e0e?(??i?)tdt (??0)
(??i?)t0?(??i?)t???e??i??e??0)
????i? (0F(?)?1??i??1??i? ?2??2??2 (??0) ------4分
f(t)?1??2????ei?tF(?)d? (??0)- -------5分 ?12????2???ei?t?2??2d? (??0) ?1????????2??2(cos?t?isin?t)d? (??0) . s ..
. ..
?2?????0cos?tid? ? 22?????sin?t????2??2d? (??0)
??f(t)?2?????0cos?td? (??0)， -------6分 22?????cos?t???td??e 22?2????0?复变函数与积分变换?期末试题（B)
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1?i的幅角是（ ）；2.Ln(??i)的主值是2二．1．
（ ）；3.
a=（ ），
f(z)?x2?2xy?y2?i(ax2?2xy?y2)析．4．
在复平面内处处解
z?1z?sinz0是 的（ ）极点；5． f(z)?，3zzRes[f(z),?]?（ ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数
f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（ ）；
f?(z)?ux?iuy；
（A）f?(z)?uy?ivx； （B）（C）
f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?ux?iuy.
C2．C是正向圆周z?2，如果函数f(z)?（ ），则?f(z)dz?0．
（A）
3z333z； （B）； （C）； （D）. 22(z?1)(z?1)z?1z?1 . s ..
. ..
3．如果级数?cnzn在z?2i点收敛，则级数在
n?1?（A）z??2点条件收敛 ； （B）z??2i点绝对收敛； （C）z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散． ４．下列结论正确的是( )
（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；
(B) 如果?f(z)dz?0,其中C复平面内正向封闭曲线, 则f(z)在C所围成的
C区域内一定解析；
（C）函数f(z)在z0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z?z0的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D）函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、
v(x,y)在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
（A）、lnz是复平面上的多值函数； (B)、cosz是无界函数；
z(C)、sinz 是复平面上的有界函数；（D）、e是周期函数．
得分 三．按要求完成下列各题（每小题8分，共计50分）
（1）设f(z)?u(x,y)?i(x?g(y)))是解析函数，且
2f(0)?0，求
g(y),u(x,y),f(z)．
zdz．其中C是正向圆周z?2； （2）．计算?C22(z?1)(z?i)z2ezdz，其中C是正向圆周z?2； （3）．计算?C(1?z) . s ..
1 . ..
1dz．其中C是正向圆周z（4）．利用留数计算?C2(z?1)(z?2)?3；
z(z2?1)(z?2)3（5）函数f(z)?在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果
(sin?z)3有极点，请指出它的级. 四、（本题12分）将函数f(z)?1在以下区域内展开成罗朗级数；
z2(z?1)（1）0?z?1?1，（2）0?z?1，（3）1?z??
五．（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题
?y??(x)?5y?(x)?4y(x)?e?x??y(0)?y?(0)?1
六、（本题8分）求
??
f(t)?e??t(??0)的傅立叶变换，并由此证明：
cos?t???td??e22?2?0???
?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B）
一．填空题（每小题3分，共计15分）
. s ..
. ..
1．
?1?i的幅角是（ ??2k?,k?0?1,?2,? ）；2.Ln(?1?i)的主值是241?（ln2?i ）；3. 241(7)f(z)?f(0)?（ 0 ）；2，
1?z4．f(z)?z?sinz1Res[f(z),0]?f(z)? ，（ 0 ） ；5． 32，
zzRes[f(z),?]?（ 0 ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1----5 A A C C C
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
（1）求a,b,c,d使f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，
2222解：因为f(z)解析，由C-R条件
?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,
a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．
?C1dz．其中C是正向圆周z2z(z?1)?2；
解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数f(z)?1在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆
c1,c2且位于c内
. s ..
复变函数与积分变换期末考试试卷A及答案
