泰勒定理与洛朗定理的联系与区别
1 引言
泰勒定理和洛朗定理是复变函数中极其重要的定理．泰勒定理给出了解析函数在解析点邻域内的具体展式，而洛朗定理是研究解析函数在其孤立奇点去心邻域内性质的重要工具．它们既有相同点又有不同点．因此，研究它们的联系和区别是很有必要的．
在此之前，许多数学工作者对这方面的研究已经取得很好的成果．本文的论述是在前人成果的基础上对已有的知识进行有效的归纳和总结．
2 泰勒定理与洛朗定理的介绍
2.1 泰勒定理 定理１（泰勒定理）
[1]??159?162?设f ( z )在区域D内解析，a?D，只要圆?：z?a?R含
于D，则f ( z )在?内能展成幂级数
f ( z)??c( z?a)nn?0?n ， (1)
f?n?(a)f(?)d??其中系数 cn? ． (2) n?1??2?i?(??a)n!
1 （积分形式） （微分形式）
?[1]??162???：??a??，0???R，n?0，1，2??
且展式是惟一的．
定义1
(1)称为f ( z )在点a的泰勒展式，（2）称为其泰勒系数，而(1)等号右边的级数，
则称为泰勒级数．
2.2 洛朗定理 定理２（洛朗定理）
[1]??185?188?在圆环?：r＜z－a＜R?r?0，R?＋??内解析的函数
f ( z )必可展成双边幂级数
f ( z)?其中
cn?n????c( z?a)n?n ， （3）
f(?)d?2?i??(??a)n?11?n?0,?1,?2,??
， (4)
并且展式是惟一的（即f ( z )及圆环?惟一地决定了系数c?n）． ?为圆周??a???r???R?，
定义２
[1]??188? (3)称为f ( z )在点a的洛朗展式，(4)称为其洛朗系数，而(3)等号右边的级数则称
为洛朗级数．
3 泰勒定理与洛朗定理的比较
3.1 泰勒定理与洛朗定理的联系
先就定理要求的可展区域来讨论它们的联系．函数在圆内展成泰勒级数，在圆环内展成洛朗级数．假设当已给函数f ( z )在点a处解析时，中心在点a，半径等于由点a到函数f ( z )的最近奇点的距离的那个圆可以看成圆环的特殊情形，在那个圆中就可以作出洛朗级数展开式．根据柯西积分定理，由公式(4)可以看出，这个展式的所有系数c?n?n?1,2,??都等于零．在这种情形下，计算洛朗级数的系数公式与泰勒级数的系数公式的积分形式是一致的，所以，洛朗级数就转化成泰勒级数．因此，泰勒级数是洛朗级数的特殊情形．
另一方面，我们从展式的展法和系数上讨论它们的联系．计算洛朗级数的系数公式在形式上和泰勒级数的系数公式（积分形式）是一致的．用直接展开法求级数要计算积分，很麻烦．而圆域内解析函数的泰勒级数展开式是惟一的，在求一些初等函数的泰勒级数时，就不用直接展开法，而可以利用已知的泰勒级数去求所需要的泰勒级数，即间接展开法．同泰勒级数情形一样，圆环域内解析函数的洛朗级数展开式也是惟一的，也可以利用间接展开法去求．在展开函数为洛朗级数时,以泰勒级数为基础．
下面，举一个用直接展开法展成泰勒级数的例子． 例１ 将函数f ( z)?sinz展为z的泰勒级数.
解 f? ( z)?sin2z f?? ( z)?2sin(2z?2?2
)?
f?n??n?1??? ? ( z)?2n?1?sin?2z?2???f?n? (0)当n为奇数时, ?0
n!当n为偶数时,令n?2k,k??
? 1
f?2k? ( 0)1??? ?22k?1?sin??2k?1?? ( 2k)!( 2k)!2?? ?122k?1?( ?1)k?1
( 2k)!22234256所以 sinz?z?z?z?? ( z??) 2!4!6!2对于直接展开法，就不再赘述了，这里，我们简单介绍泰勒级数与洛朗级数的间接展开法． 间接展开法是利用已知函数展开式，结合解析函数性质、幂级数运算性质和其他数学技巧，求函数的级数展开式．常用的一些方法有代换法、部分分式法、柯西乘积法等．除了上述方法外，还可以利用组合、搭配等方法把一个解析函数展开为级数．注意，一个函数可以用多种方法展开，但是其展开式是惟一的．在下面讲关于泰勒定理与洛朗定理的区别时，我们再做具体全面的比较．
3.2泰勒定理与洛朗定理的区别
先介绍一些初等函数在z?0处的泰勒级数，它们可以用来间接地求函数的级数展开式． （1）
1?1?z?z2???zn?? ( z?1) 1?zn?z2z4?1?z2n（2）cosz?1????????2n?!2!4!（3）?1?z??1??z?? ( z??)
????1?2!z2???????1?????n?1?n!zn?? ( z?1)
z2zn（4）e?1?z?????? ( z??)
2!n!znz2z3n?1z??????1??? ( z?1) （5）ln?1?z??z?23n泰勒定理中要求函数f ( z)在区域D内解析，a?D，圆?：则f ( z)在?z?a?R含于D，内能展成泰勒级数，就是说泰勒级数的收敛区域为一个圆．泰勒展式仅限于z在??的内部时方能成立，而??又只需在f ( z)的解析区域D内就行，其大小并无限制．故展式在以a为中心，通过与a最接近的f ( z)之孤立奇点的圆周内部皆成立．
用泰勒定理来表示圆形区域内的解析函数是很方便的，但是，对于有些函数f ( z)，若点a为
f ( z)的孤立奇点，在点a的邻域内就不能展为泰勒级数．洛朗定理建立了（挖去奇点a的）圆环
2
r?z?a?R?r?0,R???,当r?0时为去心圆0?z?a?R?内解析函数的级数表示，即在
圆环?：r?z?a?R?r?0,R????内解析的函数f ( z)必可展成洛朗级数（即双边幂级数)，例如函数f ( z)?1，z?0为孤立奇点，在0?z???内就可以展开为洛朗级数． z下面举例说明函数在不同区域展为不同级数． 例1 将函数f ( z)?1?z?1??z?2?在如下三个解析区域:(1) 圆z?1;(2) 圆环1?z?2;
(3) 圆环2?z???内展为级数.
解 首先将函数f ( z)分解成部分分式 f ( z)?11? z?2z?1z?1,得 2(1) 在圆z?1内,因z?1?2,即
f ( z)?11?z?1?z?2?1???2?
?1?zz2??1?z?z????1????2??2?22??2??
137?z?z2??248
（函数f ( z)在圆z?1 内展为泰勒级数）.
(2) 在圆环1?z?2 内,即有
1z?1,?1 z2 f ( z)??1111???zz121?1?2z
?1?111?zz2?????1?????1??????22?z2?2z2z????
11111zz2zn?1???n???3?2???2?3???n??z22zzz22
（函数f ( z)在圆环1?z?2内展为洛朗级数）.
3
(3) 在圆环2?z???内,这时
12?1,?1故zz
f ( z)?1111???2z1z1?1?zz
?1?111?222????1?????1??????22?zz?zzzz????
（函数f ( z)在圆环2?z??? 内展为洛朗级数）.
由此例可以看出，函数在圆内展为泰勒级数，而在圆环内展为洛朗级数．又注意到，只要函数在指定的圆环内解析就能在该圆环内展为洛朗级数．从而，同一个函数在不同的圆环内（只要它在此圆环内解析）都能展为洛朗级数．当然，同一个函数在不同的圆环内展成的洛朗级数可能是不同的．这与洛朗展式的惟一性并不矛盾．
下面讲几种展开方法，并列举例子来进行对比．我们可以简单地体会一下它们在展法上的区别． (１) 代换法
代换法的关键是将f ( z)变形为含所需因式的形式，并可以利用已知展开式得到需要的级数.
例２ 将函数f ( z)?137?2?3?4??zzz
1?z?2?2在z?0和z?1处展为泰勒级数．
?2解（１）当z?0时，化f?z??1?z?2?22!1?z???1??，并利用已知级数展开式 4?2??1?z???1??z?????1?z2???????1?????n?1?zn?? ?n!令
z?1?
z?1，当???2时，即可得 2
1?z?2?21?z???1?? 4?2??2?1?zz2?1?2??2?3??? ??2? 4?1!22!2??1z3z2?? ???4416?z?2?
4
泰勒定理与洛朗定理的联系与区别
