第三章基本波函数
3.1 标量波函数
1. 直角坐标系中的标量函数 定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的本征函数。标量亥姆兹方程的解可表示为
ψ=h(kxx)h(kyy)h(kzz)（3-5）
解谐函数类型：
h(kxx) e-jkxx''' kx=kx-jkx''kx=0 函数的表示 波动特性 向x方向传播的等幅行波 随x衰减的凋落波 向x方向传播的衰减行波 向-x方向传播的等幅行波 随-x衰减的凋落波 向-x方向传播的衰减行波 沿x分布的正弦驻波 两种凋落波的合成 沿x分布的余弦驻波 两种凋落波的合成 'kx=0 复数kx ''kx=0 e-jkxx ''e-kxx '''e-kxxe-jkxx e ''ekxx '''ekxxejkxx 'sinkxx ''sinhkxx 'coskxx ''coshkxx 'jkxx'ejkxx k=0 复数kx ''kx=0 'kx=0 ''kx=0 'kx=0 'xsinkxx coskxx
2. 圆柱坐标系中的标量波函数
第一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以表示Jn(kρρ)，称为第n 阶贝塞尔函数。当n为整数时，可由下列级数表示
kρρn+2k1（3-19） Jn(kρρ)=?(-1)()k!(n+k)!2k=0￥k第二类贝塞尔函数又称为诺依曼函数，以Nn(kρρ)表示。它与第一类贝塞尔函数的关系为
Jn(kρρ)=当时ρ?0时Nn(kρρ)尔方程的另一个线性无关的解。
3. 圆球坐标系中的标量波函数
?￥(-1)kk=0kρ1(ρ)n+2k（3-20）
k!(n+k)!2。当n为整数时，Nn(kρρ)。当n 为整数时，为贝塞
1dn2Pn(x)=n(x-1)n（3-37） n2n!dx11+xQn(x)=Pn(x)(ln)-21-x?nk=11Pk-1(x)Pn-k(x)（3-38） k式（3-37）和式（3-38）分别称为第一类勒让德函数Pn(x)和第二类勒让德函数Qn(x)。
3.2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用
1. 平面波用圆柱面基本波函数展开
向x方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为
2. 柱面波用基本波函数展开
利用贝塞尔函数的叠加定理，以ρ'为中心轴的柱面波可转变为以Z轴中心轴的柱面波，即
￥ì?(2)'jn(φ-φ')'?J(kρ)H(kρ)e;ρ<ρ??nn????j(2)?j?n=-?'（3-50） Ψ=H0(kρ-ρ)=?í￥'44?'(2)jn(φ-φ)'?J(kρ)H(kρ)e;ρ>ρ??nn??n=-??e-jkx=n=-??￥j-nJn(kρ)ejnφ（3-47）
3. 平面波用球面波基本波函数展开
e4. 球面波用基本波函数展开
-jkrcosθ=?￥j-n(2n+1)jn(kr)Pn(cosθ)（3-56）
n=0￥ì?jk(2)''?(2n+1)h(kr)j(kr)P(cosθ);r
Ψ=3.3 理想导电圆柱对平面波的散射
j8π2蝌kykxe-j轾kx(x-x')+ky(y-y')+kzz-z'犏臌kzdkxdky（3-69）
E??sze?jk??2j?Jn(ka)jn?e（3-79） ?(2)?kn???Hn(ka)上述散射场式（3-79）中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。
3.4 理想导电圆柱对柱面波的散射
E?3.5
sz??I42j?jk?'?nJn(ka)(2)ejH0(k?)ejn(???')（3-88） ?(2)?k?'Hn(ka)n???理想导电劈对柱面波的散射
Ez?2E0?jm?1?m/22?'2?（3-98） Jm/2(k?)sinsinmm3.6 理想导电圆筒上的孔隙辐射
kLcos?)VLe2E??3?ar1?(kLcos?)22?jkrcos(jnejn? ?2n???Hn(kasin?)?3.7
理想导体圆球对球面波的散射
???jk?Il?(2)'(2n?1)h(kr)jn(kr)Pn(cos?);??n?4?n?0Azi??????jk?Il(2n?1)j(kr')h(2)(kr)P(cos?);?nnn?4?n?0?分层媒质上的电偶极子
???j(1)R(k)H(k?)ejuIl?0?Azi??1?28???k12?k????j(1)T(k)H(k?)ejuIl?0?Azi??1?228???k2?k?r?r'(3-134)
r?r'3.8
反射波及透射波均可看成垂直电偶极子产生的场：
2k12?k?z?z'k?dk?（3-139）
22k2?k?z?z'k?dk?（3-140）
反射系数和透射系数：
R?T?(1?R)?2?2??1?1（3-144）
?2?2??1?1?2j(?e?12??1)d（3-145）
式中?1?2k12?k?（3-146）
2?2?k22?k?（3-147）
3.9 矢量波函数
电磁场满足矢量亥姆霍兹方程，为了直接求解矢量亥姆霍兹方程，需要引入矢量波函数，
????????N矢量波函数是3个独立的矢量函数，分别用L、M及表示，其定义为
第三章 基本波函数
