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【详解】
ln(1?x)ln(1?x)lim(2?)?lim[1?(1?)x?0x?0xx1x1ln(1?x)1ln(1?x)1??(1?)xxx]?limex?01ln(1?x)?(1?)xx?e1ln(1?x)lim?(1?)x?0xx
其中
l1?x?0x?x12i211?l1?x?x2，
x?x?0?m
n?2故原式=e 10、设函数f(x)??y?0处的导数
x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在
【答案】1dxdy?1? .
y?01?e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
【难易度】★★
【详解】由题意可知，f(?1)?0
dydx1dxdx1. ?1?ex?????x?1dxdydyy?0dyx??11?e1?e??11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为r?cos3?(????)，则
66f?(x)?L所围平面图形的面积是 .
? 12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【答案】【难易度】★★ 【
?详
?解
?】面
1621?cos6?1sin6?6?266S???r(?)d???cos3?d???d??(??)?
002?6226120x?arctant,??12、曲线?上对应于t?1点处的法线方程为 . 2??y?ln1?t?【答案】y?x?ln2??0
4?积
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【考点】由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★★
?1?(1?t2)2?2t22dydy/dt1?t???t，故【详解】由题意可知，
1dxdx/dtdy1?t2?1 dxt?1?1曲线对应于t?1点处的法线斜率为k???1.
111当t?1时，x??4，y?ln2.
法线方程为y?ln2??(x?)，即y?x?ln2??0.
4413、已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx?0?0，
??y?x?0?1的解为y? . 【答案】y?e3x?ex?xe2x
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★
【详解】y1?y2?e3x?ex，y2?y3?ex是对应齐次微分方程的解. 由分析知，y*??xe2x是非齐次微分方程的特解.
故原方程的通解为y?C1(e3x?ex)?C2ex?xe2x，C1,C2为任意常数. 由yx?0?0，y?x?0?1可得C1?1，C2?0. 通解为y?e3x?ex?xe2x.
14、设A?(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij?Aij?0(i,j?1,2,3)，则A? .
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【答案】-1 【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★
【详解】aij?Aij?0?Aij??aij?A*??AT?AA*??AAT?AE 等式两边取行列式得?A?A?A?0或A??1 当A?0时，?AAT?0?A?0（与已知矛盾） 所以A??1.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置．．．上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
当x?0时，求n和a的1?cosx?cos2x?cos3x与axn为等价无穷小，值.
【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★ 【
解】
cos6x?cos4x?cos2x?11?1?cosx?cos2x?cos3x4 lim?limnnx?0x?0axax3?cos6x?cos4x?cos2x6sin6x?4sin4x?2sin2x ?lim?limx?0x?04axn4anxn?136cos6x?16cos4x?4cos2x?lim n?2x?04an(n?1)x详
23故n?2?0，即n?2时，上式极限存在. 当n?2时，由题意得
lim1?cosx?cos2x?cos3x36cos6x?16cos4x?4cos2x36?16?4??lim??1
x?0x?0axn8a8a[重点实用参考文档资料]
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?a?7
?n?2,a?7
16、（本题满分10分）
设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，
Vx，Vy分别是D绕G轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值.
13【考点】旋转体的体积 【难易度】★★
35353【详解】根据题意，Vx???(x)dx??x??a3
055017a7a66Vy??2?x?x3dx??x3??a3.
07707563因Vy?10Vx，故?a3?10??a3?a?77. 75a132a17、（本题满分10分）
设平面区域D由直线x?3y，y?3x，x?y?8围成，求??x2dxdyD【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★
1?y?3xx?2y?x???x?6?【详解】根据题意?， ??3????x?y?8?y?6?x?y?8?y?2?故
222xdxdy?dxxdy?dxxxx??????dy23x68?x0218、（本题满分10分）
28132416?x4?(x3?x4)??128?303333 2D2363设奇函数f(x)在[?1,1]上具有二阶导数，且f(1)?1，证明：
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（Ⅰ）存在??(0,1)，使得f?(?)?1； （Ⅱ）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由于f(x)在[?1,1]上为奇函数，故f(0)?0 令F(x)?f(x)?x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且
F(1)?f(1)?1?0，F(0)?f(0)?0?0.由罗尔定理，存在??(0,1)，
使得F?(?)?0，即f?(?)?1. （
f?(?Ⅱ
?x)x）
?f?(?考
xx)虑
??xe??[exf?(x)?ex]??0
令g(x)?exf?(x)?ex，由于f(x)是奇函数，所以f?(x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，f?(?)?f?(??)?1，?g(?)?g(??)?0.由罗尔定理可知，存在??(?1,1)，使得g?(?)?0，即f??(?)?f?(?)?1. 19、（本题满分10分）
求曲线x3?xy?y3?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★
【详解】设M(x,y)为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为
d?x2?y2
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[实用参考]2013年考研数学二试题及答案
