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20GG年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设cosx?1?x?sin?(x)，?(x)??2，当x?0时，?(x)（）
（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小 【答案】（C） 【考点】同阶无穷小 【难易度】★★
1【详解】cosx?1?x?sin?(x)，cosx?1?x2
211?x?sin?(x)?x2，即sin?(x)?x
22?当x?0时，?(x)?0，sin?(x)?(x)
??(x)1?x，即?(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）. 22、已知y?f(x)由方程coxsy(?)y?lnx?确定，则
2linmf[?(?)（）1 ]n??n（A）2（B）1（C）-1（D）-2 【答案】（A）
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★
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【详解】当x?0时，y?1.
2f()?12f(2x)?1f(2x)?f(0)limn[f()?1]?limn?lim?2lim?2f?(0) n??n??x?0x?01nx2xn两边同时对x求导，得 方程cos(xy)?lny?x?1?sin(xy)(y?xy?)?1?y??1?0 y将x?0，y?1代入计算，得y?(0)?f?(0)?1
2所以，limn[f()?1]?2，选（A）.
n??nx?sinx[0,?)3、设f(x)??，F(x)??f(t)dt，则（）
02[?,2?]?（A）x??为F(x)的跳跃间断点（B）x??为F(x)的可去间断点 （C）F(x)在x??处连续不可导（D）F(x)在x??处可导 【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
F(??0)?2，
?F(??0)?F(??0)，F(x)在x??处连续.
x?f(t)dt?f(t)dt??00F??(?)?lim??0x??x?x??f(t)dt?f(t)dt??00F??(?)?lim??2，
x??x??F(??0)??sintdt??sintdt???sintdt?20202???，
，
F??(?)?F??(?)，故)在x??处不可导.选（C）. 1?F(x1?x?e????(x?1)??14、设函数f(x)??，若反常积分?f(x)dx收敛，
11?x?e??xln??1x则（）
（A）???2（B）??2（C）?2???0（D）0???2
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【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】?由???1??1f(x)dx??f(x)dx??1e1e??ef(x)dx
??ef(x)dx收敛可知，?f(x)dx与?e1f(x)dx均收敛.
?e1f(x)dx??e11dxdx收敛，，是瑕点，因为x?1??1??1?1(x?1)(x?1)所以??1?1???2
???ef(x)dx????e11??dx??(lnx)xln??1x???，要使其收敛，则??0
e所以，0???2，选D.
x?z?zy??（） f(xy)，其中函数f可微，则
y?x?yx22（A）2yf?(xy)（B）?2yf?(xy)（C）f(xy)（D）?f(xy)
xx5、设z?【答案】（A）
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★
?zyy2?z1f?(xy)，?f(xy)?yf?(xy) 【详解】??2f(xy)??yx?xxx2x?z?zxyy1???[?2f(xy)?f?(xy)]?[f(xy)?yf?(xy)] y?x?yyxxx11??f(xy)?yf?(xy)?f(xy)?yf?(xy)?2yf?(xy)，故选（A）.
xx6、设Dk是圆域D??(x,y)x2?y2?1?位于第k象限的部分，记
Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（）
（A）I1?0（B）I2?0（C）I3?0（D）I4?0 【答案】（B）
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Dk[重点实用参考文档资料]
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，I1?I3?0.
I2???(y?x)dxdy?0（（
D2y?x?0），I4???(y?x)dxdy?0D4y?x?0）
因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B） 【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】将矩阵A、C按列分块，A?(?1,,?n)，C?(?1,b1n??b11??由于AB?C，故(?1,,?n)???(?1,,?n)
?bbnn??n1?即?1?b11?1??bn1?n,,?n?b1n?1??bnn?n 即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆，故A?CB?1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.
?1a1??200?????
8、矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件是（）
?1a1??000?????
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,?n)
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（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2,b为任意常数 【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值. ?200??1a1?????由?0b0?的特征值为2，b，0可知，矩阵A??aba?的特
?1a1??000?
????
征值也是2，b，0. 因
此，
1?a?11?a?12E?A??a2?b?a?02?b?a2?2a??4a2?0?a?0
?101??1?a10??2a?0将a?0代入可知，矩阵A??0b0?的特征值为2，b，0.
?101???此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题．．纸指定位置上. ．
ln(1?x)1)x? . 9、lim(2?x?0x1【答案】e2
【考点】两个重要极限 【难易度】★★
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[实用参考]2013年考研数学二试题及答案
