专题13 解析几何
考向一 直线与圆
【高考改编☆回顾基础】
1.【直线垂直的位置关系及直线的点斜式方程】【2016·天津卷改编】过原点且与直线2x＋y＝0垂直的直线方程为________． 1【答案】y＝x
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【解析】因为直线2x＋y＝0的斜率为－2，所以所求直线的斜率为，所以所求直线方程为y＝x.
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2.【弦长问题】【2016·全国卷Ⅰ改编】设直线y＝x＋22与圆C：x＋y－22y－2＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________． 【答案】23
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3.【直线与圆，圆与圆的位置关系】【2016·山东卷改编】已知圆M：x＋y－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是________． 【答案】相交 【解析】由垂径定理得2
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a2
2
＋(2)＝a，解得a＝4，∴圆M：x＋(y－2)＝4，∴圆M与圆N的圆心距d＝
22222
（0－1）＋（2－1）＝2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交．
x2y24.【椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系】【2017课标3，改编】已知椭圆C：2?2?1，（a>b>0）的左、
ab右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为 .
【答案】【解析】
6 3
故填
6. 3【命题预测☆看准方向】
从近五年的高考试题来看,高考的重点是求圆的方程、求与圆有关的轨迹方程、直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系,圆与圆锥曲线的交汇问题是高考的热点,经常以选择题、解答题的形式出现.另外，从高考试题看，涉及直线、圆的问题有与圆锥曲线等综合命题趋势.复习中应注意围绕圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等,其中经常考查的是圆与圆位置关系中的动点轨迹,直线与圆的位置关系中的弦长问题、切线问题、参数的取值范围等.
【典例分析☆提升能力】
【例1】【2018届北京丰台二中高三上学期期中】已知点P?2,0?及圆C:x?y?6x?4y?4?0．
22（Ⅰ）设过P的直线l1与圆C交于M， N两点，当MN?4时，求以MN为直径的圆Q的方程．
（Ⅱ）设直线ax?y?1?0与圆C交于A， B两点，是否存在实数a，使得过点P的直线l，垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ?x?2??y2?4 (2) 不存在实数a，使得过点P?2,0?的直线l2垂直平分弦AB．
【解析】试题分析：（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明证明即可．
2
（Ⅱ）把直线ax?y?1?0及y?ax?1代入圆C的方程，消去y，整理得：
?a2?1x2?6?a?1?x?9?0，
?由于直线ax?y?1?0交圆C于A， B两点，
故??36?a?1??36a?1?0，即?2a?0，解得a?0．
22??则实数a的取值范围是???,0?． 设符合条件的实数a存在，
由于l2垂直平分弦AB，故圆心C?3,?2?必在直线l2上， 所以l2的斜率kPC?2，所以kAB?a?由于
1， 21????,0?， 2故不存在实数a，使得过点P?2,0?的直线l2垂直平分弦AB．
【趁热打铁】【2018届江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校高三12月联考】经过点?2,0?且圆心是直线x?2与直线x?y?4的交点的圆的标准方程为__________． 【答案】?x?2???y?2??4
【解析】直线x?2与直线x?y?4的交点为?2,2? 即圆心为?2,2?，因为圆经过点?2,0?所以半径为2，故圆的标准方程为?x?2???y?2??4 故答案为?x?2???y?2??4
【例2】已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x＋y＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为23.点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.
2
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222222(1)求圆C的方程；
→→
(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求BA1·BA2； (3)求证：|AN|·|BM|为定值．
【答案】(1)x＋y＝4.(2)3.(3)证明：见解析.
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(2)将y＝x＋1代入x＋y＝4得2x＋2x－3＝0. 设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)， 3
则x1＋x2＝－1，x1x2＝－.
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→→
∴BA1·BA2＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8. 当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)， y0－2?2x0，0?.
直线PA的方程为y＝x＋2，令y＝0得M??x0?2－y0?2y0?y0?直线PB的方程为y＝(x－2)，令x＝0得N?0，?.
x0－2?2－x0?
2y0??2x0?y0x0x0y0??? 2－2－＋＋∴|AN|·|BM|＝?＝4＋4??????2－x0??2－y0??x0－2y0－2（x0－2）（y0－2）?y0 －2y0 ＋ x0 －2x0 ＋ x0 y0 4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0
＝ 4 ＋ 4· ＝ 4 ＋ 4· ＝ 4 ＋
（x0 －2）（y0 －2）（x0 －2）（y0 －2）4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0
4× ＝ 8， 4－2y0 －2x0 ＋ x0 y0 故|AN|·|BM|为定值8.
【趁热打铁】(1)已知圆C的方程为x＋y＋8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围为________________．
(2)已知圆C：x＋y－ax＋2y－a＋4＝0关于直线l1：ax＋3y－5＝0对称，过点P(3，－2)的直线l2与圆C交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为________________． 4
【答案】(1)－≤k≤0 (2)23.
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12?a?22
(2)圆C：x＋y－ax＋2y－a＋4＝0，其圆心C为?，－1?，半径r＝a＋4a－12.
2?2?a
∵圆C关于直线l1：ax＋3y－5＝0对称，∴－3－5＝0，
2解得a＝±4.
当a＝－4时，半径小于0，不合题意，舍去． ∴a＝4，则圆心C为(2，－1)，半径r＝5.
由|PC|＝2<5，可知点P在圆内，则当弦长|AB|最小时，直线l2与PC所在直线垂直． 此时圆心C到直线l2的距离d＝|PC|＝2， 弦长|AB|＝2r－d＝23， 即所求最小值为23.
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【方法总结☆全面提升】
1.要注意几种直线方程的局限性,点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直,两点式方程要求直线不能与坐标轴垂直,而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
2.求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即若斜率存在时,“斜率相等”或“互为负倒数”;若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究. 3.求圆的方程一般有两类方法:
(1)几何法,通过圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,求得圆的基本量和方程; (2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
4.直线与圆的位置关系: (1)代数法．将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相离；
(2)几何法．把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d
5.处理有关圆的弦长问题求解方法：
专题13解析几何(精讲讲义)-2018年高考数学二轮复习解题方法精讲精练精测
