当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；……………………………………………8分
当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．………………………………………9分
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．……………………………………………………10分
18.（1）由题意知，
，
由此得到一般性结论：4分 （2）①当分 ②假设分 那么，
……………… …7分
…………………9分
时，
时，结论成立，即，………………………6
时，，猜想成立．……5
（或者猜想也行）．……
，
，
…………………10分
所以当11分
由①②可知，上述结论对12分
19.（1）连接AC1，交A1C于点M。连接OM，BC1。． 因为棱柱的侧面是平行四边形，所以M是AC1的中点。
又因为O是AB中点，所以OM是△ABC1的中位线，……………1分 所以OM∥BC1。………………………………………………………2分 又因为OM?平面OA1C，BC1?平面OA1C，………………………3分 所以BC1∥平面OA1C．………………………………………………4分 （2）连接因为故，，，都为等边三角形。
，。
，．
，
都成立，所以猜想成立．………………………………时，猜想也成立．…………………………………………………………………
因为O是AB中点，所以因为，，所以OC＝OA1＝，A1C2＝OC2＋A1O2。
所以OC⊥OA1。 所以5分 以为原点，则6分
，7分 设平面分 取分
，得，……………………………………………………………9
的法向量，则…………………8
，…………………………………………………………
，，，所在直线分别为x，，轴，建立空间直角坐标系， ，，…………………………………………………
，，两两垂直，……………………………………………………………………
平面分 设二面角11分
的法向量，……………………………………………………………10
的平面角为，显然为锐角，故．…所以二面角分
20. （1）时，的余弦值为．………………………………………………………12
，
，………………………………………………2分 令分
所以函数的单调增区间是6分 （2）令8分 若时，，则当，即．……………………………………………………………………………9分
若，则当时，时，，即，为减函数，而，从而当时，，为增函数，而，从而当，则．
．……………………………………………………
，；单调减区间为．………………………
，可得或；令，可得．…………………4
．………………………………………………………………………11分
综合得的取值范围为12分
21. （1）设椭圆因为椭圆的离心率是分
，所以的半焦距为，
，即，…………1
．……………………………………………………………………由3分
解得…………………………………………………………………所以椭圆的方程为分 （2）证明如下：将消去整理得5分 令6分 设则7分 设直线则
，的斜率分别是，，， ．
代入．………………………………………………………………4
，
，………………………………………………………
，解得，……………………………………………
，…………………………………………………………
，，
，其中
……………………
…10分 所以直线所以
，……………………………………………………………………………11
分 所以
．……………………………………………………………………………………12
分
，的倾斜角互补，所以，
22. （1）因为1分 由又所以在，可得，所以，………………………………………
．
，
，其定义域为，，处取得极值，所以，所以，………………………………2分
令所以函数分 （2）当①由由题意得4分 又5分 令所以所以当6分 又，所以当时，，…………………………………………………………………………………………7
分 因为与函数．…8分
②由题意得所以，，，
，
的图象有两个不同的交点，所以的取值范围是时，，而当时，，当在时，，且，得上单调递减，在取得最小值；令，且，得；
，，………………………………………………………………
得与函数时，，记，其定义域为，
的图象有两个不同的交点，………………………………
，
，得，当时，，减区间为；当时，；
的增区间为．…………………………………………3
上单调递增；
，……………………………………………………………
所以要证即证9分 设10分 令（（），则，只需要证，则
，
，不妨设，
，…………………………………………………………………
，………………………………………………………），
所以11分 所以函数所以分 所以
，即．
在上单调递增， ，即，…………………………………………………
，…………………………………………………12
广东省佛山一中2024-2024学年高二下学期第一次段考试题（4月）数学（理）Word版含答案
