1.1.2 弧度制
【基础练习】
1.将1 920°转化为弧度数为( ) 16
A.
316πC.
3【答案】D
2π32π
【解析】1 920°=5×360°+120°=5×2π+=.故选D.
332.已知扇形的周长为12 cm,面积为8 cm,则扇形圆心角的弧度数为( ) A.1 C.1或4 【答案】C
1
【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,则2r+l=12,S扇形=lr=8,解得r=4,l=4
248
或者r=2,l=8.∴扇形的圆心角的弧度数是=1或=4.故选C.
42
π
3.半径为3 cm的圆中,的圆心角所对的弧长为( )
73πA. cm
73
C. cm 7【答案】A
ππ3π
【解析】由题意可得圆心角α=,半径r=3,∴弧长l=αr=×3=.故选A.
7774.下列转化结果错误的是( ) 3π
A.67°30′化成弧度是 rad
87π
C.-150°化成弧度是 rad
6【答案】C
ππ3π10
【解析】1°=,对于A,67°30′=67°30′×=,A正确;对于B,-π=
18018083
10
B.-π化成度是-600°
3π
D.化成度是15° 12πB. cm 219πD. cm 7B.4 D.2或4
2
32
B.
332πD. 3
- 1 -
10π57?180?-π×??°=-600°,B正确;对于C,-150°=-×150°=-π≠π,C错误;318066?π?ππ?180?
对于D,=×??°=15°,D正确.故选C.
1212?π?
5.已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________. 1π1π
【答案】+,-
23602360
x+y=1,??π
【解析】设两个角的弧度分别为x,y,因为1°=rad,所以有?π
180x-y=,?180?
1π
x=+,??2360得?1π
y=??2-360.
解
1π1π
即所求两角的弧度数分别为+,-.
23602360
6.如图所示,图中公路弯道处的弧长l=________.(精确到1 m)
【答案】47 m
π
【解析】根据弧长公式,l=αr=×45≈47(m).
3
7.(1)已知扇形的周长为20 cm,面积为9 cm,求扇形圆心角的弧度数; (2)已知某扇形的圆心角为75°,半径为15 cm,求扇形的面积.
2
【解析】(1)如图所示,设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,圆心角为θ(0<θ<2π), 由l+2r=20,得l=20-2r, 11
由lr=9,得(20-2r)r=9, 22∴r-10r+9=0,解得r1=1,r2=9.
2
l18
当r1=1 cm时,l=18 cm,θ===18>2π(舍去).
r1l2
当r2=9 cm时,l=2 cm,θ==.
r9
- 2 -
2
∴扇形的圆心角的弧度数为.
9
π5π115π22
(2)扇形的圆心角为75×=,扇形半径为15 cm,扇形面积S=|α|r=××15180122212=
3752
π(cm). 8
8.(1)把310°化成弧度; 5π
(2)把 rad化成角度;
12
π7π
(3)已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,试比较α,β,γ,θ,φ1012的大小.
π31π
【解析】(1)310°= rad×310= rad. 180185π5π?180?(2) rad=×??°=75°.
1212?π?(3)方法一(化为弧度):
α=15°=15×
πππ7π
=,θ=105°=105×=. 1801218012
ππ7π
显然<<1<,故α<β<γ<θ=φ.
121012方法二(化为角度):
β==×?φ=
ππ?180?
?°=18°,γ=1≈57.30°,
1010?π?7π?180?×??°=105°. 12?π?
显然,15°<18°<57.30°<105°,故α<β<γ<θ=φ.
9.已知扇形的周长为30,当它的半径R和圆心角α各取何值时,扇形的面积S最大?试求出扇形面积的最大值.
【解析】设扇形的弧长为l,∵l+2R=30, 11
∴S=lR=(30-2R)R
22=-R+15R
2
?15?2225=-?R-?+.
2?4?
15225
∴当R=时,扇形有最大面积,
24
- 3 -