探究三:
（3）如图1，连接CF，BF，在旋转过程中△BCF的面积是否存在最大的情形，如果存在，求出最大面积，如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）α=120°；（2）四边形CDFM是菱形，证明见解析；（3）存在△BCF的面积最大的情形，S△BCF =【解析】
试题分析：（1）由平行四边形的性质知
∠D=∠B，AB=CD=a，可得∠D=∠DEC，由等角对等边知CD=CE，由AE=AB=a，AD=BC=2a，可得DE=CE，即可证得△CDE是等边三角形，∠D=60°，由两直线平行，同位角相等可得∠DAB=120°，即可求得α；
（2）由旋转的性质以及∠B=60°，可得△ABE是等边三角形，由平行线的判定以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形ABEM是平行四边形，再由由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（3）当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大，由于点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动，故当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，由题意知∠AFG=90°.由∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a，可得AH、AF的值.可求得点F到BC的最大距离.进而求得S△BCF的值. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D=∠B，AB=CD=a， ∵∠AEF=∠B，∠AEF=∠DEC， ∴∠D=∠DEC， ∴CD=CE，
∵AE=AB=a，AD=BC=2a， ∴DE=CE.， ∴CD=CE=DE，
∴△CDE是等边三角形， ∴∠D=60°， ∵CD∥AB， ∴∠D+∠DAB=180°， ∴∠DAB=120°， ∴α=120°.；
（2）四边形CDFM是菱形. 证明：由旋转可得AB=AE， ∵∠B=60°，
∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE=60°，
∴∠BAG=∠BAE+∠GAE=60°+120°=180°， ∴点G，A，B在同一条直线上，
332
a. 2∴ME ∥AB，BE∥AM， ∴四边形ABEM是平行四边形， ∴AM=AB=ME， ∴CD=DM=MF， ∵CD ∥AB∥MF，
∴四边形CDFM是平行四边形， ∵∠D= 60°，CD=DM， ∴△CDM是等边三角形， ∴CD=DM，
∴四边形CDFM是菱形；
（3）存在△BCF的面积最大的情形. ∵CB的长度不变，
∴当点F到BC的距离最大时，△BCF的面积最大. ∵点F始终在以A为圆心AF为半径的圆上运动， ∴当FG与⊙A相切时，点F到BC的距离最大， 如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接AF，
则∠AFG=90°.
∵∠ABH=∠G=60°，AB=a，AG=2a， ∴AH=AB×sin60°=
3a，AF=AG×sin60°=3 a. 2333a=a. 22∴点F到BC的最大距离为3a+ ∴S△BCF=
133332
×2a×a=a. 222点睛：此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，三角形的面积的求法，关键是运用旋转前后，图形的对应边相等、对应角相等的性质解题.
7．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α； （2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′． 【答案】（1）15°；（2）见解析． 【解析】
试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；
（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．
考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．
，
8．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE． （1）①依题意补全图形；
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=的距离．
，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP
【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）【解析】
试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，
．
再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．
（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．
（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离． 试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）； ②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下： ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°． ∴∠CDE=∠CED=45°． 又∵∠ADC=135°， ∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上． ∴AE=AD+DE． 又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB， 即∠ACD=∠BCE． 又∵AC=BC，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE． ∴DE=2CM． ∴AE=BE+2CM． （3）点A到BP的距离为
．
考点：作图—旋转变换．
9．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．同时转动两个转盘，当转盘停止后，计算指针所指区域内的数字之和．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
（1）请你通过画树状图或列表的方法分析，并求指针所指区域内的数字和小于10的概率；
（2）小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：指针所指区域内的数字和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．你认为该游戏规则是否公平？请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． 【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．
试题解析：（1）共有12种等可能的结果，小于10的情况有4种， 所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为
1；（2）不公平． 31． 3
（2）不公平，因为小颖获胜的概率为小亮获胜的概率为
；
5．小亮获胜的可能性大，所以不公平． 12可以修改为若这两个数的和为奇数，则小亮赢；积为偶数，则小颖赢． 考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．
10．如图1，在△ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED//BC，O为DC中点，连结EO并延长交BC的延长线于点F，则有S四边形EBCD=S△EBF.
（1）如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，△MON的面积存在最小值．直接写出这个条件:_______________________. （2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，
2020-2021备战中考数学专题训练 - 初中数学 旋转的综合题分类附详细答案
