第三章 数系的扩充与复数的引入
【课题】：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
【学情分析】：
从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充.
学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会复数问题向实数问题转化的方法.
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类. （2）过程与方法目标：
从为了解决x2?1?0这样的方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程x2?1?0的根.到将i添加到实数集中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。 （3）情感与能力目标：
通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。
【教学重点】：
复数的概念及其分类。
【教学难点】：
虚数单位i的引入。
【教学突破点】：
从解x2?1?0方程的需要，引入虚数单位i.及虚数单位i与实数的融合。
【教法、学法设计】：
讲授、练习相结合。
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入 从解方程的实系后，这个二次方程恰好有两个解：x??2； 际出发，使学生对数22．同学们在解一元二次方程ax?bx?c?0的时候，会遇到判别系的扩充有一个更式??b2?4ac?0的情况。这时在实数范围内方程无解。一个自然的深刻的认想法是能否把实数系扩大，使这种情况下的方程在更大的数系内有解？ 识。 1．方程x2?2?0在有理数系没有解，但当把数的范围扩充到实数二、讲1．复数的概念： 授新课 ①形如a?bi(a,b?R)的数叫复数。其中i叫虚数单位。全体复数所（1）复数的概成集合叫复数集。 念 ②复数通常用字母z表示。即z=a?bi(a,b?R)。其中a与b分别叫 做复数z的实部与虚部。 ③a?bi(a,b?R)与c?di(c,d?R)相等的条件是a?c且b?d. （2）复数的分类 2．复数的分类： ?实数(b?0),复数z? ?虚数(b?0)(当a?0时为纯虚数). 及时运三、运说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数： 用新知识，用新巩固练习，2?2,0.618,3i,0,i,i2,5?2i,3?2i,(1?3)i,2?2i. 知 ， 让学生体体验成②． 写出下列各复数的实部和虚部： 验成功，为功 了使学生13 实现从掌?3?2i,3?7i,?i,?8,?6i. 22握知识到运用知识③． 求适合下列方程的x和y(x,y?R)的值： 的转化，使知识教育(1)(x?2y)?(2x?3y)i?3?3i; 与能力培(2)(3x?y?3)?(x?y?3)i.养结合起来，设计分答案:①实数有: 2?2,0.618,0,i2;虚数有: 层练习 练习1： ①． 3i,i,5?2i,3?2i,(1?3)i,2?2i.;复数有:全部. ②实部及虚部依次为:?3,2;3,7;③(1)x?13,;?8,0;0,?6. 2239,y??;(2)x?0,y??3. 77四、师复数的分类及复数相等条件的运用： m(m?2)生互例1.已知m?R,复数z??(m2?2m?1)i,当m为何值动，继m?1续探究 时: (1)z?R; (2)z是虚数; (3)z是纯虚数. 让学生进行数的分类的探究, 对于较为正确的分类，并分析:涉及复数的分类概念,应分别应用复数.?当且仅当b?0时为实数,??当且仅当b?0时为虚数,a?bi??当且仅当a?0,b?0时为纯虚数,?当且仅当a?0,b?0时为零.?解:(1)当m2?2m?1?0且m?1?0,即m??1?2时,z为实数.(2)当m?2m?1?0且m?1?0.即m??1?2且m?1时,z为虚数.m(m?2)(3)当?0且m2?2m?1?0,m?1即m?0或?2时,z为纯虚数.例2.已知x是虚数,y是纯虚数,且满足(2x?1)?(3?y)i?y?i,求2 能说出特征的都将给予肯定，重视个体差异，体现多元评价的思想，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心，增强学生 的自信心.然后教师给出规范的分类。 x,y. 分析:因x?R,y是纯虚数,所以可设y?bi(b?R且b?0),代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之即得所求结果.解:?y是纯虚数,可设y?bi(b?R,b?0),则(2x?1)?3i?b?bi?i,整理得(2x?1?b)?3i?(b?i),由复数相等的充要条件得?b?4,?2x?1??0,????3,b?1?3x????2?3?x??,y?4i.2 五、分探究活动： 层练练习2 ： 习，巩①试问x取何值时，复数(x2?x?2)?(x2?3x?2)i是实数？是虚固提高 数？是纯虚数？ ②解方程x?10x?40?0. 参考答案：①??1,?2?;2通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学?xx?R,x??1,x??2?;??1. 内容，同时完成对新知的迁移。 ②x?5?15i 六、概采取师生互动的形式完成。 括梳即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目理，形标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。 成系统 （小 结） 七、布 置作业 采取师生互动的形式完成。
A组
1.写出下列复数的实部与虚部:
?5?5i,22?i,?3,i,0.222.求适合下列各方程的实数x和y的值:
(1)(3x?2y)?(5x?y)i?17?2i;(2)(3x?4)?(2y?3)i?0;n?42?(n?3n?4)i, 2m?3m?4 (1)m,n取什么整数值时,z是纯虚数;3.已知复数z
? (2)m,n取什么整数值时,z是实数.
高中数学(人教A版选修)教案：《复数的概念与扩充》
