十年高考分类解析与应试策略数学 第十一章 极限、导数与积分
●考点阐释
本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用. 重点掌握：
1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.
2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值. 3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值. 4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.
●试题类编 一、填空题
1.（2002天津理，15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y=（的旋转体的体积等于_____.
2）x所围成的图形绕x轴旋转一周而成
x2?ax?32.（1998上海，3）若lim?2，则a= . 3x?1x?33.（1996上海理，16）lim(x?241?)= . 2x?4x?2二、解答题
4.（2002天津文，21）已知a＞0，函数f（x）=x3－a，x∈［0，+∞）.设x1＞0，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：
（i）x2≥a；
（ii）若x1＞a，则a＜x2＜x1.
5.（2002天津理，20）已知a＞0，函数f（x）=（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0），证明：
（i）0＜x2≤
1313131?ax2，x∈（0，+∞）.设0＜x1＜，记曲线y=fxa1； a11，则x1＜x2＜. aa5
（ii）若x1＜
6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分
图11—1
绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m，BB′=22 m，塔高20 m.
（1）建立坐标系并写出该双曲线方程. ※
（2）求冷却塔的容积（精确到10 m3，塔壁厚度不计，π取3.14） 7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式； ※
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且 f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式； ※
（2）若直线x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
※
说明：凡标有的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.
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●答案解析 1.答案：
3? ln222解析：由旋转体的体积公式V=π
?[(2)x]20dx???0(2x)dx ??(22203?ln2?ln2)?ln2. 2.答案：4 解析：依题意有：
1?a?31?3=2，∴a=4
3.答案：－
14 解析：原式=lim4x2?4?x?2x2?4)?lim2?xx?2(x?2x2?4?limx?2(?1x?2)??14. 4.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=3x2，由此得切线l的方程：
y－（x13－a）=3x12（x－x1）.
（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，
33xx1?a2x2=x1－1?a3x2?2， 13x11（i）x31133x2a?3x23111322?a?(2x1?1a)?2(x1?a)(2x1?a3)≥0，13x11∴x2≥a3，
1当且仅当x1=a3时等号成立.
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（ii）若x3x11＞a，则x13
－a＞0，x2－x1=－1?a＜0，且由（i）x2＞a33x2
， 1
1所以a3＜x2＜x1.
5.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=－
1x2，由此得切线l的方程： y－（
1?ax1x）=－12（x－x1）. 1x1（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，
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x2=x1（1－ax1）+x1=x1（2－ax1），其中0＜x1＜
2. a（i）由0＜x1＜
112，x2=x1（2－ax1），有x2＞0，及x2=－a（x1－）2+. aaa∴0＜x2≤
111，当且仅当x1=时，x2=. aaa11时，ax1＜1，因此，x2=x1（2－ax1）＞x1，且由（i），x2＜， aa1. a（ii）当x1＜
所以x1＜x2＜
6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy，使AA′在x轴上， AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.
1x2y2设双曲线方程为2?2=1（a＞0，b＞0），则a=AA′=7.
2ab又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，所以有
112y1?2?1 27b92y2?2?1 27b22图11—2 ①
②
由题意，知y2－y1=20. ③ 由①、②、③，得 y1=－12，y2=8.b=7
2.
x2y2故双曲线方程为=1； ?4998（2）由双曲线方程，得x2=
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y+49. 2设冷却塔的容积为V（m3），则
1213288V???8xdy??(y?49)dy??(y?49y)|?12?12?12. ?26经计算，得V=4.25×103（m3）. 答：冷却塔的容积为4.25×103 m3.
评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.
7.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2
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∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根， ∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1. 故f（x）=x2+2x+1. （2）依题意，有所求面积=
?0(x2?2x?1)dx?(11?13x3?x2?x)|0?1?3. 评述：本题考查导数和积分的基本概念. 8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有??t?(x2?2x?1)dx??021?t(x?2x?1)dx， ∴(13x3?x2?x)|?t?1?(13203x?x?x)|?t， －
13t3+t2－t+13=13t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0， ∴2（t－1）3=－1，于是t=1－
132. ●命题趋向与应试策略
1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查： （1）函数的极限；
（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用； （3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积.
2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.
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2019年十年高考数学真题分类解析第11章极限导数与积分 doc
