【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】 【分析】
5 5（1）取AC中点O，根据AC?PO,AC?BO，利用线面垂直的判定定理，可得AC?平面OPB，最后可得结果.
（2）利用建系，假设AC长度， 可得AC，以及平面PAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果. 【详解】
（1）取AC中点O，连接OP,OB，如图
uuur
由PA?PC，AB?BC 所以AC?PO,AC?BO
由POIBO=O,PO,BO?平面OPB 所以AC?平面OPB，又PB?平面OPB 所以AC?PB （2）假设AC?3，
由?APC?120?，?ABC?90?，AC?3PB. 所以PB?3,OB?33 ,OP?22则PB2?OB2?OP2，所以OP?OB
又OP?AC，AC?OB?O,AC,OB?平面ABC 所以PO?平面ABC，所以PO?OB，PO?OC 又OB?OC，故建立空间直角坐标系O?xyz，如图
3??3??33????A?0,?,0?,C?0,,0?,B?,0,0?,P?0,0, ???2222????????uuuruuur?33?uuur?33?AC??0,3,0?,AB??,,0?,AP??0,, ????22??22?r设平面PAB的一个法向量为n??x,y,z?
3?3uuuvx?y?0v?n?AB?0?22?v?? 则?vuuu?n?AP?0?3y?3z?0?2?2r令z?3，所以n?1,?1,3
??ruuurn?AC5?ruuur 则直线AC与平面PAB所成角的正弦值为
5nAC【点睛】
本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.
18．某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A，B两种，且这两种的个体数量大致相等，记A种蜻蜓和B种蜻蜓的翼长（单位：mm）分别为随机变量X，Y，其中X服从正态分布N?45,25?，Y服从正态分布N?55,25?.
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间?45,55?的概率；
2（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z，若用正态分布N?0,?0来近似描述Z的分布，请你根据（Ⅰ）
??中的结果，求参数?0和?0的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间?42.2,57.8?的个数为W，求W的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）. 注:若X~N?,??2?，则P(??0.64??X???0.64?)?0.4773，P(????X????)?0.6827，
P(??2??X???2?)?0.9546.
【答案】（Ⅰ）0.4773；（Ⅱ）?0?50.0，?0?7.8；（Ⅲ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的，所以
11P?45?t?55???P?45?X?55???P?45?Y?55?，代入数值运算即可；
2245?55?50.0，再结合（1）和题干备注信息可得（Ⅱ）可判断均值应为?0?245??0?0.64?0,55??0?0.64?0，进而求解；
（Ⅲ）求得P(42.2?T?57.8)?P(????T????)?0.6827，该分布符合二项分布，故W~B?3,0.6827?，列出分布列，计算出对应概率，结合E?W??np即可求解； 【详解】
（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为t.
因为A种蜻蜓和B种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是A种还是B种的可能性是相等的.
11所以P?45?t?55???P?45?X?55???P?45?Y?55?
2211??P?45?X?45?2?5???P?55?2?5?Y?55? 2210.954610.9546?????0.4773. 2222（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，X，Y的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知
?0?45?55?50.0 25?7.8. 0.64由（Ⅰ）可知45??0?0.64?0,55??0?0.64?0，得?0?（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为T，则P(42.2?T?57.8)?P(????T????)?0.6827.
kk3?k由题有W~B?3,0.6827?，所以P?W?k??C3?0.6827?0.317.
因此W的分布列为
W P 0 1 1C30.68271?0.31732 2 C320.68272?0.31731 3 3C30.68273 C300.31733 E?W??3?0.6827?2.0481. 【点睛】
本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题
rrr3r19．已知点P(1,),a?(x?1,y),b?(x?1,y)，且a?b?4，满足条件的Q(x,y)点的轨迹为曲线C．
2（1）求曲线C的方程；
（2）是否存在过点(0,?1)的直线l，直线l与曲线C相交于A,B两点，直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点，使得PM＝PN？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
15x2y2【答案】（1）??1（2）存在， y?x?1或y?x?1．
2243【解析】 【分析】
rr（1）由a?b?4得(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4看成Q(x,y)到两定点F1(?1,0),F2(1,0)的和为定
值，满足椭圆定义，用定义可解曲线C的方程.
（2）先讨论斜率不存在情况是否符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线点斜式方程y?kx?1，由
PM＝PN，可得kPA?kPB＝0，再直线与椭圆联解，利用根的判别式得到关于k的一元二次方程求解.
【详解】
解：?1?设F1(?1,0),F2(1,0)，
rrrr由a?(x?1,y),b?(x?1,y)， a?b?4，
4， 可得(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4，即为QF1?QF2＝由4?F1F2，可得Q的轨迹是以F1(?1,0),F2(1,0)为焦点，且2a?4的椭圆，
22xy1,a＝2，可得b?a2?c2?3，可得曲线C的方程为?由c＝?1；
43?2?假设存在过点(0,?1)的直线l符合题意．
当直线l的斜率不存在，设方程为x＝0，可得M，N为短轴的两个端点，
PM＝PN不成立；
﹣1) 当直线l的斜率存在时，设方程为y?kx?1，A(x1,kx1?1),B(x2,kx2由PM＝PN，可得kPM?kPN＝0，即kPA?kPB＝0，
55kx2?5可得2?2?0，化为2kx1x2?(k?)(x1?x2)?5?0，
2x1?1x2?1kx1?由??y?kx?122可得(3+4k)x-8kx-8=0， 22?3x?4y?12由(0,?1)在椭圆内，可得直线l与椭圆相交，
x1?x2?则2k(?8k8,xx??， 12223?4k3?4k858k)?(k?)()?5?0
3?4k223?4k2522化为?16k?8k(k?)?5(3?4k)?0，即为4k2?12k?5?0，解得k?所以存在直线l符合题意，且方程为y?【点睛】
15或k?， 2215x?1或y?x?1． 22本题考查求轨迹方程及直线与圆锥曲线位置关系问题. （1）定义法求轨迹方程的思路:应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解；（2）解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解.
x2y2320．已知椭圆C：2?2?1（a?b?0）的离心率为，且椭圆C的一个焦点与抛物线y2?43xab2的焦点重合.过点E(1,0)的直线l交椭圆C于M?x1,y1?，N?x2,y2?两点，O为坐标原点. （1）若直线l过椭圆C的上顶点，求?MON的面积；
（2）若A，B分别为椭圆C的左、右顶点，直线MA，NB，MB的斜率分别为k1，k2，k3，求k3?k1?k2?的值. 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据抛物线的焦点求得椭圆的焦点，由此求得c，结合椭圆离心率求得a，进而求得b，从而求得椭圆C的标准方程，求得椭圆上顶点的坐标，由此求得直线l的方程.联立直线l的方程和椭圆方程，求得
4（2）k3?k1?k2???1 5M,N两点的纵坐标，由此求得?MON的面积.
（2）求得A,B两点的坐标，设出直线MN的方程，联立直线MN的方程和椭圆方程，写出韦达定理，由此求得k2?k3的值，根据M在椭圆上求得k1?k3的值，由此求得k3?k1?k2?的值. 【详解】
（1）因为抛物线y2?43x的焦点坐标为的坐标为
?3,0，所以椭圆C的右焦点
??3,0，所以c?3，
?
甘肃省嘉峪关市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
