甘肃省嘉峪关市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

【分析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得f(x)在R上为增函数，又由2?log24?log27?3?32，分析可得答案．

【详解】

解：根据题意，函数f(x)?3x?2cosx，其导数函数f?(x)?3?2sinx， 则有f?(x)?3?2sinx?0在R上恒成立， 则f(x)在R上为增函数； 又由2?log24?log27?3?32， 则b?c?a； 故选：D． 【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题．

10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A．408 【答案】A 【解析】 【分析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况； 【详解】

6解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有A6?720（种），

B．120 C．156 D．240

5当“乐”排在第一节有A5?120（种），

当“射”和“御”两门课程相邻时有A2A5?240（种），

24当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有A2A4?48（种），

25则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有720?120?240?48?408（种）， 故选：A． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．

11．设a?R，b?0，则“3a?2b”是“a?log3b”的 A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】

若3a?2b， b?0，则a?log32b，可得a?log3b； 若a?log3b，可得3a?b，无法得到3a?2b， 所以“3a?2b”是“a?log3b”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】

本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：

① 若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ② 若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③ 若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；

④ 若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.

12．sin80?cos50??cos140?sin10??（ ） A．?3 2B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B．

3 2C．?1 2D．

1 2【答案】D 【解析】 【分析】

利用10?90?80,140?90?50，根据诱导公式进行化简，可得sin80?cos50??cos80?sin50?，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】

???o??由80?90?10,140?90?50

???o??所以sin10?sin90?80??????cos10

?cos140??cos?90??50????sin50?，

所以原式?sin80cos50?cos80sin50?sin80?50 所以原式?sin30???o????????1 2??故sin80cos50?cos140sin10?故选：D 【点睛】

1 2本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

?13．能说明“在数列?an?中，若对于任意的m,n?N，am?n?am?an，则?an?为递增数列”为假命题的

一个等差数列是______.（写出数列的通项公式） 【答案】答案不唯一，如an??n?1 【解析】 【分析】

根据等差数列的性质可得到满足条件的数列. 【详解】

由题意知，不妨设an??n?1，

则am?n??(m?n)?1??(m?n)?2?am?an， 很明显?an?为递减数列，说明原命题是假命题. 所以an??n?1，答案不唯一，符合条件即可. 【点睛】

本题考查对等差数列的概念和性质的理解，关键是假设出一个递减的数列，还需检验是否满足命题中的条件，属基础题.

14．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;

③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③

【解析】 【分析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】

不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③. 【点睛】

本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.

15．在三棱锥P?ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，PB?PA?1,PA?PC?4，则三棱锥

P?ABC外接球的表面积的最小值为________.

【答案】14? 【解析】 【分析】

设PA?x，可表示出PB,PC，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】

设PA?x则PC?x?1,PC?4?x，由PA,PB,PC两两垂直知三棱锥P?ABC的三条棱PA,PB,PC的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r， ∴2r?x2??x?1???4?x??3x2?6x?17 22当x?1时，2rmin?14,rmin故答案为：14?． 【点睛】

?14?14?,S表=4???2???14?． 2??2本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和． 16．已知数列?an?满足：a1?1，an?1?的最大值是_____.

12an?m?n?N*?，若对任意的正整数n均有an?4，则实数m8【答案】2 【解析】 【分析】

根据递推公式可考虑分析an?1?an,再累加求出关于an关于参数m,n的关系,根据表达式的取值分析出

m?2,再用数学归纳法证明m?2满足条件即可.

【详解】 因为an?1?an?1212an?an?m??an?4??m?2?m?2, 88累加可得an?a1???ak?1n?1k?1?ak??1??m?2??n?1?.

若m?2,注意到当n???时,?m?2??n?1????,不满足对任意的正整数n均有an?4. 所以m?2.

当m?2时,证明：对任意的正整数n都有0?an?4. 当n?1时, a1?1?4成立.

假设当n?k,?k?1?时结论成立,即0?ak?4,

22则0?ak?1?2?ak?2??4?4,即结论对n?k?1也成立.

1818由数学归纳法可知,对任意的正整数n都有0?an?4. 综上可知,所求实数m的最大值是2. 故答案为：2 【点睛】

本题主要考查了根据数列的递推公式求解参数最值的问题,需要根据递推公式累加求解,同时注意结合参数的范围问题进行分析.属于难题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，三棱锥P?ABC中，PA?PC，AB?BC，?APC?120?，?ABC?90?，AC?3PB.

（1）求证：AC?PB；

（2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.