问题 35 圆锥曲线中的最值、范围问题
一、考情分析
与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最
值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充
分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．
二、经验分享
1. 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利 用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
2. 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利
用曲线的定义、几何性 质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几
何量或代数表达 式表示为某个(些 )参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
三、知识拓展
x2 y 2 ?
1.已知 P 是椭圆 C： ? ? 1a ? b ? 0? 一点，F 是该椭圆焦点，则 b ? OP ? a, a ? c ? PF ? a ? c ；
a 2 b2 x2 y 2 ?
2.已知 P 是双曲线 C： ? ? 1a ? 0, b ? 0 ? 一点，F 是该椭圆焦点，则 OP ? a, PF ? c ? a ；双曲线
a2 b2 ? 2b2 ?
C 的焦点弦的最小值为 ?2a, ? .
a ? ?
min
四、题型分析
(一) 利用圆锥曲线定义求最值
借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．
x2 y 2
【例 1】已知 A(4 ，0), B(2，2) 是椭圆 ? ? 1 内的两个点, M 是椭圆上的动点,求 MA ? MB 的最大值
25 9
和最小值．
1
【分析】很容易想到联系三角形边的关系 ,无论 A、M、B 三点是否共线,总有 MA ? MB ? AB ,故取不
到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．
【 解 析 】 由 已 知 得 A(4，(?4， 根 是 椭 圆 的 右 焦 点 , 设 左 焦 点 为 F 0)0) 据 椭 圆 定 义 得
MA ? MB =2a ? MF ? MB ? 10 ? MB ? MF ,因为 MB ? MF ? FB ? 2 10 ,所以 MB ? MF
? [?2 10, 2 10] ,故 MA ? MB 的最小值和最大值分别为10 ? 2 10 和10 ? 2 10 .
【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．
【小试牛刀】【山东省济宁市 2024 届高三第一次模拟】已知双曲线 分别为
的左、右焦点
，实轴长为 4，渐近线方程为 的最小值为(
，点 N 在圆
上，则
)
C．6
D．7
A．
B．5
【答案】B
【解析】由题意可得 2a＝4，即 a＝2，
渐近线方程为 y＝± x，即有 即 b＝1，可得双曲线方程为
，
y2＝1， ，0），
焦点为 F1（
，0），F2，（
由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|， 由圆 x2+y2﹣4y＝0 可得圆心 C（0，2），半径 r＝2， |MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，
连接 CF2，交双曲线于 M，圆于 N， 可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2| 则则|MN|+|MF1|的最小值为 4+3﹣2＝5． 故选：B．
3，
2
(二) 单变量最值问题转化为函数最值
建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．
x2 y 2
【例 2】已知椭圆 C： ? ? 1?a ? b ? 0? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线
a 2 b2
x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程.
（2）设 P 为椭圆上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T ,且满足
OS ? OT ? tOP (O 为坐标原点),求实数 t 的取值范围.
【分析】（1）由题意可得圆的方程为 ( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
c ? 1
?a；2
x 2 y 2
根据椭圆 C : ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, ?
2 a b 2 a ? 2b ? 2c 代入*式得 b ? c ? 1 ,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线 L 的斜率存在,设直线 L
方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 p?x , y
0
0
?
,将直线方程代入椭圆方程得：
?1 ? 2k ?x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ,
2
2
2
2
根据 ? ? 64k 4 ? 4 1 ? 2k 2 8k 2 ? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 得到 k 2 ? 2
?
??
?
1
；设 S
?x , y ?, T ?x , y ?应用韦达定理
1 1 2 2
8k 2 8k 2 ? 2
x ? x ? , x x ? .讨论当 k=0, t ? 0 的情况,确定 t 的不等式. 1 2 1 2
1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
【解析】 1由题意：以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , （ ）
c?1
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? ?a*
2
x 2 y 2
∵椭圆 C : ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, ?
2 a b 2
3
2024年高考数学备考冲刺140分问题35圆锥曲线中的最值范围问题含解析
