第48讲 线性规划
[基础篇]
一、二元一次不等式表示平面区域：
（1）一般地，二元一次不等式Ax?By?C?0在平面直角坐标系中表示直线Ax?By?C?0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界线．不等式Ax?By?C?0所表示的平面区域（半平面）包括边界线；
（2）对于直线Ax?By?C?0同一侧的所有点?x,y?，使得Ax?By?C的值符号相同.因此，如果直线
Ax?By?C?0一侧的点使Ax?By?C?0，另一侧的点就使Ax?By?C?0。所以判定不等式
Ax?By?C?0（或Ax?By?C?0）所表示的平面区域时，只要在直线Ax?By?C?0的一侧任意
取一点(x0,y0)，将它的的坐标代入不等式,如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域；
（3）由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
二、线性规划：
（1）基本概念 名 称 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 意 义 由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x,y的约束条件 关于x，关于x，y的解析式 y的一次解析式 满足线性约束条件的解?x,y?叫做可行解 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 （2）用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①设出所求的未知数；
②列出约束条件（即不等式组）； ③建立目标函数； ④作出可行域；
⑤运用图解法求出最优解．
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[技能篇]
题型一：“截距”型考题：
在线性约束条件下，求形如z?ax?by(a,b?R)的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差.
?x-y?10?例题1-1 设变量x,y满足?0?x+y?20，则2x+3y的最大值为
?0?y?15?例题1-2 设变量x,y满足约束条件??2x?y?4，则目标函数z=3x－y的取值范围是
?4x?y??1题型二：“距离”型考题：
?x?1?例题2-1设不等式组?x-2y+3?0所表示的平面区域是?1,平面区域是?2与?1关于直线3x?4y?9?0?y?x?对称,对于?1中的任意一点A与?2中的任意一点B, |AB|的最小值等于 ?2x?y?2?0?22
例题2-2 已知x、y满足以下约束条件?x?2y?4?0 ，则z=x+y的最大值和最小值分
?3x?y?3?0?别 是
题型三： “斜率”型考题：
?x?y?2?0y?例题3-1 已知变量x,y满足约束条件?x?1，则的取值范围是______.
x?x?y?7?0??x?0x?2y?3?例题3-2 设x,y满足约束条件?y?x，则取值范围是
x?1?4x?3y?12?
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题型四：“平面区域的面积”型考题：
例题4-1 设平面点集A??(x,y)(y?x)(y?)?0?,B?(x,y)(x?1)2?(y?1)2?1，则AIB所表示的
??1x????平面图形的面积为
?x?0?例题4-2 若A为不等式组?y?0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x?y?a扫
?y?x?2?过A中的那部分区域的面积为 .
?x?04?例题4-3若不等式组?x?3y?4所表示的平面区域被直线y?kx?分为面积相等的两部分，则
3?3x?y?4?k的值是
?x?0,?例题4-4 若a?0,b?0，且当?y?0,时，恒有ax?by?1，则以a,b为坐标点P(a,b)所形成的平面
?x?y?1?区域的面积等于__________.
题型五：“求约束条件中的参数”型考题：
规律方法：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域，要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
?x?y?1?0?例题5-1 在平面直角坐标系中，若不等式组?x?1?0（?为常数）所表示的平面区域内的面积等于
?ax?y?1?0?2，则a的值为 （ ）
A. －5 B. 1 C. 2 D. 3
?x?y?3?0?x例题5-2 若直线y?2上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0，则实数m的最大值为 （ ）
?x?m?13 B．1 C． D．2 22?x?2y?19≥0，?x例题5-3 设二元一次不等式组?x?y?8≥0，所表示的平面区域为M，使函数y?a(a?0，a?1)的
?2x?y?14≤0?A．
图象过区域M的a的取值范围是 （ ）
A．[1，3] B．[2，10] C．[2，9] D．[10，9]
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2019年上海高考数学第一轮复习_第48讲_线性规划
