1．已知直线l1：k1x＋y＋1＝0与直线l2：k2x＋y－1＝0，那么“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.由k1＝k2，1≠－1，得l1∥l2；由l1∥l2，知k1×1－k2×1＝0，所以k1＝k2.故“k1＝k2”是“l1∥l2”的充要条件． 2．(2016·石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0 解析：选A.由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率
1
k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1
kPQ＝0.
3．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
11
A．－6或 B．－或1
22111C．－或 D．0或 222|3m＋2＋3||－m＋4＋3|1解析：选A.法一：＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或.
2
m2＋12m2＋12
4－21
法二：当A，B两点在直线同侧，则－m＝，即m＝；当A，B两点在直线异侧，则
2－1－33－14＋2
A，B的中点在直线上，即m×＋＋3＝0，即m＝－6.
22
4．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( ) A．－10 B．－2 C．0 D．8 解析：选A.因为l1∥l2，
4－m所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.
m＋2又因为l2⊥l3，
1
所以－×(－2)＝－1，解得n＝－2，
n
所以m＋n＝－10.
5．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( ) 52A. B．52
2152C. D．152
2解析：选B.由题意得，线段P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，因为原点到直线x
10
－y－10＝0的距离为d＝＝52，所以线段P1P2的中点P到原点的距离的最小值为52.
2
6．(2016·合肥一模)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则
l2的方程是( ) A．x－2y＋1＝0 C．x＋y－1＝0
B．x－2y－1＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选B.因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则x＋0y－2??2－2－1＝0，??x＝－1，
解得?即(1，0)，(－1，－1)为l上两点，可得l的方程为x?y＋2
?y＝－1，?
??x×1＝－1，
2
2
－2y－1＝0，故选B. 7．(2016·河南省安阳高三调研)已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0.①若l1∥l2，则α＝________；②若l1⊥l2，则α＝________．
解析：①法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率k1不存在，l2的斜率k2为0，显然l1不平行于l2；
1
当sin α≠0时，k1＝－，k2＝－2sin α.
sin α1
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，
sin α2
即sin α＝±.
2
π
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等．
4π
经检验，α＝kπ±，k∈Z时，l1与l2不重合．
4π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4
法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0， 2所以sin α＝±.
2
又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0. 即sin α≠－1. π
所以α＝kπ±，k∈Z.
4
π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4
②因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，
所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z.
故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.
π
答案：①kπ±(k∈Z) ②kπ(k∈Z)
4
8．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为________． 解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．
又因为l1与l2的距离是2，所以
|b＋1|1＋1
2
2
＝2，解得b＝1或b＝－3，
即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
9．设直线l经过点A(－1，1)，则当点B(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为________．
解析：设点B(2，－1)到直线l的距离为d， 当d＝|AB|时取得最大值，
13
此时直线l垂直于直线AB，kl＝－＝，
kAB23
所以直线l的方程为y－1＝(x＋1)，
2即3x－2y＋5＝0. 答案：3x－2y＋5＝0 10.
在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则|AP|等于________．
解析：以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0， 0)，则直线BC方程为x＋y－4＝0，
设P(t，0)(0 所在直线．由P1、P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·(x＋t)，设△ABC的重心 4＋t44?44?44－t?4???为G，易知G?3，3?.因为重心G?3，3?在光线RQ上，所以有＝·＋t，即3t2－4t＝ 34＋t?3?444 0.所以t＝0或t＝，因为0 333 4答案： 3 11．已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)． (1)若l1∥l2，求b的取值范围； (2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值． 解：(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0， 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2 1?21?2 ＝－?a＋2?＋， 4 因为a2≥0，所以b≤0. 又因为a2＋1≠3，所以b≠－6. 故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0， 1 显然a≠0，所以ab＝a＋， a 1 a＋?≥2， |ab|＝??a? 当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2. 12．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程． 解：依题意知，kAC＝－2，A(5，1)， 所以lAC为2x＋y－11＝0， ??2x＋y－11＝0， 联立lAC，lCM得?所以C(4，3)． ??2x－y－5＝0， 设B(x0，y0)，AB的中点M为 ?x0＋5y0＋1? ??， ?2，2? 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0， ??2x0－y0－1＝0，所以?所以B(－1，－3)， ?x0－2y0－5＝0，? 66 所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0. 55 1．(2016·洛阳统考)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( ) A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线 C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线 解析：选D.因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P，排除A、B；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C，故选D. 2．(2016·淮安调研)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________． 解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线b－4?1＝－1，?a－（－3）·过点M′，?解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点 －3＋ab＋4??2－2＋3＝0，y－0x－1 N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0. 6－02－1答案：6x－y－6＝0 3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程； (2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0， 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以 |10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ） 1 ＝3，解得λ＝或λ＝2. 22 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. ??2x＋y－5＝0， (2)由? ??x－2y＝0， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． 解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离， 所以dmax＝|PA|＝10. 4．A，B两个工厂距一条河分别为400 m和100 m，A，B两工厂之间距离500 m，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A，B两工厂用水，要使供水站到A，B两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？ 解：如图， 以小河所在直线为x轴，过点A的垂线为y轴，建立直角坐标系， 则点A(0，400)，点B(a，100)． 过点B作BC⊥AO于点C. 在△ABC中，AB＝500，AC＝400－100＝300， 由勾股定理得BC＝400， 所以B(400，100)． 点A(0，400)关于x轴的对称点A′(0，－400)， 5 由两点式得直线A′B的方程为y＝x－400. 4令y＝0，得x＝320，即点P(320，0)． 故供水站(点P)在距O点320 m处时，到A，B两厂铺设的水管长度之和最短．
优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第8章 平面解析几何 第2讲知能训练轻松闯关 含答案
