硕士研究生入学考试大纲
考试科目名称:泛函分析 一、援引教材
《泛函分析》第二版高等教育出版社江泽坚孙善利编 二、考试要求
要求考生全面系统地掌握泛函分析的基本概念及基本定理，并且能灵活运用，具备较强的分析问题与解决问题的能力。
三、考试内容 （一）距离线性空间
1．距离线性空间的定义，常见的距离线性空间的距离定义及其性质。 2．距离空间中的拓扑涵义，可分空间。 3．Cauchy序列的性质，距离空间的完备性。 4．列紧集，完全有界集的定义及它们之间的关系。
5．赋范线性空间定义；范数与距离的关系；有限维赋范线性空间的结构。 6．赋范线性空间上的线性算子及有界线性算子的定义、性质与计算方法。 7．常见空间C[a,b],lp,Lp[a,b]以及(s),(m),(c)等空间中距离与范数之间的定义及关系。
掌握这些空间的可分性，完备性及拓扑性质。
8．压缩映射定义，掌握压缩映象原理，并能熟练的应用定理解决问题。了解压缩映象原理在理论上的典型应用。
（二）Hilbert空间
1．内积空间的定义，性质；内积与范数、距离之间的关系。
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2．赋范线性空间成为内积空间的条件，常见赋范线性空间是否成为内积空间的判别。
3．掌握内积空间l2,L2[a,b]的定义及其性质。
4．Hilbert空间的定义；Hilbert空间上的正规正交基，正规正交分解； 5．掌握并熟练运用Bessel不等式、Schwarz不等式及Parseval公式。 6．掌握可分Hilbert空间的结构。 空间上的线性泛函的表示。
8．Hilbert共轭算子的定义、性质及其表示；可分Hilbert空间上有界线性算子的矩阵表达式。
（三）Banach空间及Banach空间上的有界线性算子
1.Banach空间上的有界线性算子定义；算子范数的计算；范数的比较。 2.有界线性算子空间L(X,Y)的性质。
3.算子的逆，逆算子存在、连续的条件；利用逆算子解决一些积分方程等方面的实际问题。
4.Hahn-Banach定理；扩张定理的几种表现形式，如Banach扩张定理、Bohnenblust-Sobczyk定理等。
7．掌握射影定理，理解其涵义，并能加以应用；掌握Frechet定理，Hilbert/
5.Hahn-Banach定理的一些推论，体现的不同侧面的Hahn-Banach定理的具体表现形式；Hahn-Banach定理的几何形式。Hahn-Banach定理在理论及实际上的应用。
6.分离定理，及其与Hahn-Banach定理之间的关系。 7.Baire纲定理；第一纲集、第二纲集的定义与分类。
Riesz表现
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8.一致有界原理（共鸣定理）；开映射定理；Banach逆算子定理；闭图形定理以及它们的应用。
9.对偶空间的定义，几个具体空间上的对偶空间及它们的连续泛函形式，如 l1,lp(1
p
),L[a,b],Lp[a,b](1
p
),c[a,b]等。
10.二次对偶、典型映射、自反空间的定义；有限维赋范线性空间、Lp[a,b](1
p
)、Hilbert空间的自反性质。了解常见的不是自反空间的例子。
11.Banach共轭算子的定义、性质及其矩阵表示。
12.算子的值域、零空间、商空间的定义与它们之间的关系。 （四）有界线性算子谱论
1.有界线性算子的预解式与谱的定义及其计算。 2.掌握谱半径公式，应用公式解决问题。
3.射影算子的定义；有界线性算子的不变子空间与约化子空间；F.Riesz空间分解定理。
4.紧算子的定义及其性质；紧算子的实例；紧算子与理想的关系。 5.Riesz-Schauder理论：F.Riesz定理；两择一定理；Fredholm交替定理等定理内容与应用。
6.有界自伴算子的基本性质；紧自伴算子的定义与性质；酉算子的定义与性质。
7.有界自伴算子的谱测度，谱分解定理与函数演算。
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内蒙古师范大学2020考试大纲_J640泛
