中考数学人教版专题复习：二次函数的应用
一、考点突破
1. 掌握二次函数的对称轴求法；
2. 理解二次函数的最值与其开口方向和对称轴的关系； 3. 会分析自变量有一定取值范围的二次函数最值的求法。
二、重难点提示
重点：会求二次函数的最值。
难点：当自变量有一定取值范围时，求二次函数的最值。 考点精讲
1. 二次函数的最值求法
（1）当自变量的取值范围为全体实数时，
二次函数y?ax2?bx?c(a?0)在自变量x取任意实数时的最值情况：
b4ac-b2 当a?0时，函数在x??处取得最小值，无最大值；2a4ab4ac-b2 当a?0时，函数在x??处取得最大值，无最小值；2a4a【重要提示】自变量x取任意实数。
（2）当自变量的取值范围不为全体实数时，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的自变量x，
不能取遍任意实数时的最值情况。需作出函数在所给范围内的图象，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。 2. 实际问题中的二次函数最值
（1）二次函数与几何图形的面积最值问题； （2）二次函数与销售问题中的利润最值问题。 典例精析
例题1 崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线。如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分。则水喷出的最大高度是多少？
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思路分析：根据题意，可以得到喷水的最大高度，就是水在空中划出的抛物线y＝－x2
＋4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法，求得其顶点坐标的纵坐标，即为本题的答案。
答案：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x，
∴喷水的最大高度，就是水在空中划出的抛物线y＝－x2＋4x的顶点坐标的纵坐标， ∴y＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4， ∴顶点坐标为：（2，4）， ∴喷水的最大高度为4米， 故答案为4。
技巧点拨：本题考查二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题。
例题2 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝－2x＋80。设这种产品每天的销售利润为w元。
（1）求w与x之间的函数关系式。
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价，不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
思路分析：（1）根据销售额＝销售量×销售单价，列出函数关系式； （2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；
（3）把y＝150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围，求x的值。
答案：（1）由题意得出：
2
w＝（x－20）?y
＝（x－20）（－2x＋80） ＝－2x2＋120x－1600，
故w与x的函数关系式为：w＝－2x2＋120x－1600； （2）w＝－2x2＋120x－1600＝－2（x－30）2＋200， ∵－2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为200。
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元。 （3）当w＝150时，可得方程－2（x－30）2＋200＝150。 解得 x1＝25，x2＝35。 ∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去。
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元。
技巧点拨：本题考查二次函数的运用。关键是根据题意，列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题。 提分宝典 【综合拓展】
利用二次函数求几何图形面积的最值
【满分训练】为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，点F、G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，
其中AB?243米，?BAC?60?，设EF?x米，DE?y米。
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？ （3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积。
3
解： （）在1Rt△ABC中，Q?ACB?90?，AB?243米，?BAC?60?，
??ABC?30?，AC?1 在Rt△ADG中， AB?123米，BC?3AC?36米，?BAC?60?，2??AGD?30?，而GD?EF?x米，
?AD?3x，同理，在在Rt△BEF中，有BE?3x， 3∵AD＋DE＋BE＝AB，
?3x?y?3x?243，3?y?243?343x?3x?243?x，334343x（0＜x＜18）；Qy?243?x， （2） 33
即y与x之间的函数解析式为y?243??矩形DEFG的面积=xy?x(243?4343243 x)??x+243x=-(x?9)2+ 1083，333?当x?9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是1083平方米；
（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，
111则S1??AC2，S2??BC2，S3??AB2，
888∵AC2＋BC2＝AB2， ∴S1＋S2＝S3，
∵S1＋S2－S＝S3－S△ABC， ∴S＝S△ABC，
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?两弯新月的面积S?同步练习
11 AC?BC??123?36?216（平方米）。322（答题时间：30分钟）
1. 某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护
栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）
A. 50m
B. 100m
C. 160m
D. 200m
2. 竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A. 第3秒
B. 第3.5秒
C. 第4.2秒
D. 第6.5秒
3. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（ ）
A. 600m2
B. 625m2
C. 650m2
D. 675m2
*4. 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）。如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过__________秒，四边形APQC的面积最小。
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(名师整理)最新中考数学专题复习《二次函数的应用》精品教案
