18.(12分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出 人数 概率 2人及 3 以下 0.1 0.46 0.3 0.1 4 5 以上 0.04 6人及 (1)求有4个人或5个人培训的概率. (2)求至少有3个人培训的概率.
【解析】(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知P(C∪D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4.
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
19.(14分)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张. (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.
(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
【解析】(1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，方片4用4′表示，则试验的样本空间为Ω={ (2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种.
(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个样本点，所以甲胜的概率P=
，因为
≠，所以此游戏不公平.
20.(14分)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：
若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07. (1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值.
(2)已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率. 【解析】(1)由题意知
=0.07，解得n=200，
所以×100%=30%，解得a=18，
易知a+b=30，所以b=12.
(2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2，又a+b=30且a≥7，b≥6，试验的样本空间为Ω={(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)}，共18个样本点，而a>b+2包含的样本点有(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8个，则所求概率P=
=.
21.(14分)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1 000小时的概率.
【解析】设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，
显然P(A)=P(B)=P(C)=，
所以该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A∪B∪AB)C，
所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P=×=.
22.(14分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：
舒适型 标准型 轿车A 100 300 轿车B 150 450 轿车C z 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆. (1)求z的值.
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆， 由题意得
=
，所以n=2 000.
则z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400. (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车， 由题意得
=，即a=2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则试验的样本空间为Ω={(A1，A2)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共10个样本点.
事件E包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个. 故P(E)=
，即所求概率为
.
(3)样本平均数=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.
设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件为：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P(D)==，即所求概率为.
23.(14分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高 气温 天数 [10， 15) 2 [15， [20， 20) 16 25) 36 [25， 30) 25 [30， [35， 35) 7 40] 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为
=0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，
则Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100； 若最高气温位于区间[20，25)，
则Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300； 若最高气温不低于25，则Y=450×(6-4)=900， 所以，利润Y的所有可能值为-100，300，900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
=0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
2019-2020学年新教材高中数学 单元素养评价（五）新人教A版必修2
