《圆的对称性》教案
第一课时
教学目标
知识与技能
1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证. 2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算. 过程与方法
在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力.
情感态度
通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情.
教学重点
垂径定理及运用.
教学难点
用垂径定理解决实际问题.
教学过程
一、情境导入，初步认识
教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下: ①圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？
AB是⊙O的一条弦，②如图，直径CD⊥AB于点M，能发现图中有哪些等量关系？(在纸片上对折操作)
【教学说明】
(1)是轴对称图形，对称轴是直线CD. (2)AM=BM，AC?BC,AD?BD. 二、思考探究，获取新知 1.垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.还可以得出结论(垂径定理推论):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程.
3.例题解析：
????例1 已知:直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点M. 求证:AM=BM，AC?BC,AD?BD
【教学说明】连接OA=OB，又CD⊥AB于点M，由等腰三角形三线合一可知AM=BM，再由⊙O关于直线CD对称，可得AC?BC,AD?BD.
例2 已知:如图，A、B、C、D为⊙O上的四个点，AB∥CD.判断AC与BD是否相等，并说明理由.
探究 垂径定理在计算方面的应用.
例3银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
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[过程]:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．
如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=
1AB=30cm．令2⊙O的半径为R，则OA=R，OE=OF-EF=R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．
4.课堂小结
圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；垂径定理及推论中注意“平分弦(不是直径)的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；注意计算中的两种情况.
第二课时
教学目标
1．知识与技能
(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心； (2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题． 2．过程与方法
(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；
(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧． 3．情感、态度与价值观
经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．
教学重难点
重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．
难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．
教学过程
一、创设情境，导入新课
问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？ (如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．
问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？ 生：折叠．
今天我们继续来探究圆的对称性．
问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？ 生：圆心和半径．
问题2：你学习过圆中的哪些概念吗？ 填一填：
1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．
3．___________叫做等圆，_________叫做等弧． 问题3：你还知道圆的哪些概念吗？
1.弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；
2.弦：圆的任意两个端点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
3.在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧.圆的任意一条直径的两个端点分别为两条等弧，每一条弧都叫做半圆.
二、探究交流，获取新知 知识点一：圆的对称性
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？
动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？
学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．
知识点二：圆的中心对称性．
问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
做一做：
在等圆⊙O和⊙O? 中，分别作相等的圆心角∠AOB和?A?O?B?(如图所示)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA与OA?重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．
小红认为AB?A'B'，AB=A?B?，她是这样想的： ∵半径OA重合，?AOB=?A?O?B?， ∴半径OB与OB?重合，
∵点A与点A?重合，点B与点B?重合， ∴AB与A'B'重合，弦AB与弦A?B?重合， ∴AB=A'B'，AB=A?B?．
生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨． 结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系．
问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
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学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
三、例题讲解
例4 已知：A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点.试判断四边形AOBC的形状，并说明理由.
四、随堂练习
1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例． 2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案： (1)是轴对称图形但不是中心对称图形； (2)是中心对称图形但不是轴对称图形；
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北京版九年级数学上册《圆的对称性》教案
