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一．命题陷阱：
1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱） 2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱） 3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱） 4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱） 5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱） 6. 方程的根的求解问题 7. 分段函数的零点问题 8. 零点问题中新定义问题 9. 零点与导数、数列等的综合 二、陷阱典例及训练
1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）
lnx,x?1 ，若F?x??f?例1.已知函数f?x??{f?x??1??m有两个零点x1,x2，则x1?x2的取值范围x??1?,x?12是（ ）
A. 4?2ln2,??? B.
??e,?? C. ???,4?2ln2? D. ??,e
???【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制 练习1.设函数f?x??{3x?1，x?0log4x，x?0 ,若关于x的方程f2?x???a?2?f?x??3?0恰好有六个不同的
实数解,则实数a的取值范围为（ ）
23?2 B. ?23?2，? C. ?,??? D. 23?2,?? A. ?23?2，【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后
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????3?2??3?2????课外补习专用
数形结合求解．一是转化为两个函数y?g?x?,y?h?x?的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y?a,y?g?x?的交点个数的图象的交点个数问题 .
k，x?0 ，若关于x的方程f?f?x???0有且只有一个实数解，则实数k的练习2．已知函数f?x??{x?1lnx，x?0取值范围为（ ）
A. ??1，0???0，??? B. ???，0???0，1? C. ??1，0???0，1? D. ???，?1???1，???
【思路总结】：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度． 练习3设函数f(x)?x2?3ex，若函数G?x??f范围是（ ） A. ???2?x??af?x??16有6个不同的零点，则实数a的取值e6?826??426??8??26?,,,??,?? B. C. D. ?3?3??3? 33?3?e3ee3ee3e????????练习4. 已知f?x??xe2xx?R，若关于的方程f???x??mf?x??m?1?0恰好有 4 个不相等的实数x解，则实数m的取值范围为（ ） A. ?,2???2,e? B. ?,1? C. ?1,?1?e???1??e??1??1??1? D. ?,e?
?e??e?练习5. 若函数f?x??{x?1,x?0 ，函数y?f?f?x???1的零点个数是___________. ??lnx,x?02.函数零点个数与参数问题（图象错误陷阱）
?1?例2．若方程lnx????a?0有两个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）
?2?A. ?x1??1??,??? B. ?1,??? C. ???,? D. ???,1?
2??2??【陷阱防范措施】这类问题采用数形结合法
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?x2?4x?5,x?11练习1. ．已知函数f?x??{ ，若关于x的方程f?x??kx?恰有四个不相等的实数
2lnx,x?1根，则实数k的取值范围是( ) A. ??1e??1e??1??1? D. ,e? B. ?,e? C. ?,,???????2??2??2e??2e?【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、方程与函数思想以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
练习2. 已知函数f?x??ae2x?2?x2?2xex?1?a有唯一零点，则实数a? ( ) A. ???111 B. C. D. 1 232点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：现将参数分离，转化为函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
练习3. 已知函数f?x??x?1,g?x??k?x?2?．若方程f?x??g?x?有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A. ?0,? B. ?练习4. 若关于x的方程a?4?x2?2x??1?2??1?,1?C. ?1,2? D. ?2,??? ?2?2?2?x?2x?1?1?0有实根，则实数a 的取值范围是( )
A. ???,1 B. ?0,1 C. 1,2 D. 1,???
【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y?g?x?,y?h?x?的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y?a,y?g?x?的交点个数的图象的交点个数问题 . 练习5. 若关于x的方程4?x?x?m 有两个不同实根，则实数m的取值范围是
2?????22) C. (-22，22) D. (-22，-2] A. 2,22 B. [2，
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点睛：已知方程解的个数(或函数零点个数)求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 练习6.方程x?x?1??k?0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（ ） A. ???1??1??1??1?,0? B. ?0,? C. ?0,? D. ??,0? ?4??4??4??4?练习7. 已知函数f?x??kx2?6kx?k?8的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A. 0?k?1 B. 0?k?1 C. k?0或k?1 D. k?0或k?1 练习8. 若函数f?x??logax?1?ax?a?2???4a??28在实数R上有三个不同的零点， a为常数，则
实数a?__________．
3.函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱）
2x?m,x?2 ?m?2? ，若对任意x1??2,???，总存在x2????,2?使得例3．已知函数f?x??{mx,x?24x2?16f?x1??f?x2?，则实数m的取值范围是（ ）
A. 2,4 B. 3,4? C. 3,4 D. 2,4? 【陷阱防范措施】注意函数的最值，是求最大还是最小值
???????1?练习1.若函数f?x?????3?x?1?m的图象与x轴没有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A. m?0或m??1 B. m?0或m??1 C. m?1或m?0 D. m?1或m?0
练习2. 设f?x?是定义在R上的偶函数，对任意的x?R，都有f?2?x??f?2?x?，且当x??2,0时，
???1?f?x??2???，若在区间??2,6?内关于x的方程f?x??loga?x?2??0(0?a?1)恰有三个不同的实
?2?数根，则实数a的取值范围是
x??21?2??1??1?A. ?0,? B. ?0, C. ? D. ?,1? ,???42??4??2??2????? - 4 -
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练习3. 已知定义在R上的偶函数f?x?满足f?x?1???f?x?，且当x?0,1时， f?x??3?1，则
x??函数g?x??f?x??log2x的零点个数是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
?1?练习4.定义在{x|x?R,x?1}上的函数f?1?x???f?1?x?，当x?1时， f?x????，则函数
?2?11??g?x??f?x??cos??x??（?3?x?5）的所有零点之和等于__________．
22??4.函数的性质在函数零点中的应用
例4.已知偶函数f?x?满足f?x?1??f?x?1?，且当x?0,1时， f?x???x?1，则关于x的方程
x??f?x??lg?x?1?在x??0,9?上实根的个数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【陷阱防范措施】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y?g?x?,y?h?x?的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y?a,y?g?x?的交点个数的图象的交点个数问题 练习1. 已知关于x的方程e?x?2?lnx的两个实数解为x1,x2?x1?x2?，则（ ）
?1?1?1A. 0?x1x2?e B. e?x1x2?1 C. x1x2?e D. 以上答案都不对
【思路总结】本题主要考查指数函数、对数函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
练习2. 若在定义域内存在实数x，满足f??x???f?x?，称f?x?为“局部奇函数”.若
f?x??4x?m2x?1?m2?3为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是__________．
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专题04+函数的零点与方程的根的解题方法
