11．(2017·天津红桥区模拟)从自然数1，2，3，4，5中，任意取出两个数组成两位的自然数，再从这些两位自然数中取出一个数，则取出的数恰好能被3整除的概率为( )
21A. B. 5531C. D. 102
【解析】 从自然数1，2，3，4，5中任意取出两个数组成两位的自然数，共有5×4＝20个，从这些两位自然数中取出的数恰好能被3整除有12，21，15，51，24，42，45，54，82共8个，故能被3整除的概率为＝.
205
【答案】 A
?x＋1?n
12．(2017·郑州模拟)在二项式?4?的展开式中，前三项的系数成等差数列，把
2x??
展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
11
A. B. 6415C. D. 312
?x＋1?n?1?kk
kn－k－【解析】 注意到二项式?4?的展开式的通项是Tk＋1＝Cn(x)?4?＝Cn2
2x???2x?
2n－3k
k2－21－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因x4，依题意有C0n＋Cn2＝2Cn2
?x＋1?83kk－k此n＝8，因为二项式?的展开式的通项是T＝C2x4－，其展开式中的有?k＋18442x??
理项共有3项，利用插空法，6个无理项中共有7个空，插入3个有理项．∴有理项互不相
33
A656C7A3
邻的概率P＝＝.选D.
A9129
【答案】 D
13．(2017·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
【解析】 依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，
(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足
2a
≤2，a2≤b2的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，…，(6，
a2＋b2
217
6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
3612
【答案】
7 12
14．(2017·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．
【解析】 (1)方片4用4′表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．
(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为2. 3
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况．
57
甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.
121257
因为＜，所以此游戏不公平．
1212
1
15．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两7人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．
【解析】 (1)设袋中原有n个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C2n，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C27.
C21n
由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P＝2＝，则n(n－1)＝6，解得n＝3(舍去n
C77＝－2)，即袋中原有3个白球．
(2)设事件A为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，
1C14×324×C3
P(A)＝1＝＝. 1C7×C67×67
(3)设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i＝1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．
34×3×34×3×2×1×33所以P(B)＝P(A1∪A3∪A5)＝P(A1)＋P(A3)＋P(A5)＝＋＋＝＋
77×6×57×6×5×4×376122＋＝. 353535
高考理科数学一轮复习《第12章概率、随机变量及其分布》12.2 古典概型试题
