A组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
31A. B. 10511C. D. 1020
【解析】 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，14，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为.
10
【答案】 C
1
2．(2017·济宁模拟)高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占，而且三6好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为( )
11
A. B. 61211C. D. 810
【解析】 根据题意知男生共有40人，其中是男生且为三好学生的人数共有5人，故选51出的是男生且为三好学生的概率P＝＝.
408
【答案】 C
3．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312)等．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )
15A. B. 624
17C. D. 324
【解析】 由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，423，432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．当b＝1时，有214，213，314，412，312，413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324，423，共2个“凹数”．故这6＋21个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
243
【答案】 C
4．(2017·湖南长沙长郡中学第六次月考)一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为( )
1420A. B. 81812225C. D. 8181
【解析】 “恰好取5次球时停止取球”指第5次为第三种颜色，前4次为另两种颜色，
32
3×（C12C4＋C4）14
因此所求概率为＝，故选A.
3581
【答案】 A
5．(2017·太原二模)记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向π
量b＝(1，0)的夹角为α，则α∈?0，?的概率为( )
4??
55
A. B. 181217C. D. 212
【解析】 方法一 依题意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，
?π?
n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈?0，?，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：
?4?
第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第
三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五
?π?
类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1，0)的夹角α∈?0，?
?4?
155
的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝.
3612
方法二 依题意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量36－6?π?15
b＝(1，0)的夹角α∈?0，?，即n＜m的向量a＝(m，n)有＝15(个)，所以所求概率为
236?4?5
＝. 12
【答案】 B
6．(2016·广东高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【解析】 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有55种结果，故所求概率为.
6
5
【答案】
6
7．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
【解析】 先后抛掷2次骰子，所有可能出现的情况可用数对表示为 (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， ……
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．
其中点数之和不小于10的有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6个．从而点数之和小于10的数对共有30个，故所求概率P＝
305
＝. 366
5
【答案】
6
8．(2017·海淀一模)现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2
表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
【解析】 从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件N表示“A1和B1全被选中”，由于21
N＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(N)＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)
12615
＝1－P(N)＝1－＝.
66
5
【答案】
6
9．(2017·兰州双基测试)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
【解析】 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A包括(1，1，2)，(1，2，
3)，(2，1，3)，共3种，
31
所以P(A)＝＝，
279
1
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
9
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种，
38
所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝，
279
8
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
9
10．(2015·天津高考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
【解析】 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．因93此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
155
B组 专项能力提升 (时间：30分钟)
高考理科数学一轮复习《第12章概率、随机变量及其分布》12.2 古典概型试题
