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第七章线性变换
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量； 2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；
3）在P 3
22
中，A(,,)(,,)
x1xxxxxx231233
；
4）在P
3
中，A(,,)(2,,) ；
x1xxxxxxx
2312231
5）在P[x]中，Af(x)f(x1) ；
6）在P[x]中，A()(),
xPfxfx其中
0
是一固定的数； 0
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A 。
nn
中，AX=BXC其中 nn B,CP
是两个固定的矩阵.
8）在P 解1)当0
时
,是;当0时,不是。
2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,kA()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)kA()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有 A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)
=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1) =(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1) =A+A，
A(k)A(kx1,kx2,kx3) (2kx 1 kx 2 , kx 2 kx, 3 kx)
1
(2kx 1 kx 2 , kx 2 kx, 3 kx)
1
=kA()， 3
故A是P
上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令 u(x)f(x)g(x)则
A(f(x)g(x))=Au(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=Af(x)+A(g(x))， 再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)kA(f(x))， 故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则. A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))， A(kf(x))kf(x0)kA(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。 8)是，因任取二矩阵X,Y
nn
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P，则A(XY)B(XY)CBXCBYCAX+AY，
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A(kX)=B(kX)k(BXC)kAX，故A是
nn
P上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,
以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的 变换，证明：A 4
=B4
=C4
=E,ABBA,A2
B2
=B2
A2
，并检验(AB)2
=A2B2
是否成立。 解任取一向量a=(x,y,z)，则有 1)因为 Aa=(x,-z,y),A 2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4
a=(x,y,z)， Ba=(z,y,-x),B 2 a=(-x,y,- 3 4 z)，B a=(-z,y,x),B
a=(x,y,z)
，
Ca=(-y,x,z),C
2 a=(-x,- 3 y,z)，a=(y,-x,z),C 4
a=(x,y,z)
C
，
所以A 4
=B4
=C4
=E。
2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)， 所以ABBA。
3)因为A 2
B2
(a)=A2
(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2
A2
(a)=B2
(x,-y,-z)=(-x,-y,z)， 2222
所以A。
B=BA
222
3)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)， 所以(AB)
2A2
B2
。 3.在P[x]中，A ' f(x)f(x),Bf(x)xf(x)，证明:AB-BA=E。 证任取f(x)P[x]，则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B( ' f(x))=
; f(x)xf(x)- 所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：A
kB-BAk=kAk1
(k>1)。
证采用数学归纳法。当k=2时
A 2
B-BA2
=(A2
B-ABA)+(ABA-BA2
)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。mmm1
归纳假设
km
时结论成立，即
A
B-BA=mA。则当km1
时，有
m1m1m1mmm1mmmm
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=A
m1
A=(m1)Am
。
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'
xf(x)=f(x)
E+mA
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即
km1
时结论成立
.故对一切k1
结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
1
证设A是可逆变换，它的逆变换为A
。
若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A 1
，有a=b，这与条件矛盾。 其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令A
1
b=a即可。因此,A是一个双射。
6.设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且
仅当A 1,A2,,An线性无关。
证因A(1,2,,n)=(A1,A2,,An)=(1,2,,n)A，
故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A 1,A2,,An线性无
关，故A可逆的充要条件是A1,A2,,An线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1)第1题4)中变换A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；
2)[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB在基1,2下的矩阵； 3)在空间P[x]n中，设变换A为f(x)f(x1)f(x)，
试求A在基 1 i=
x(x1)(xi1)(I=1,2,,n-1)下的矩阵A；
i!
4)六个函数1=e
axcosbx,axsinbx， 3=xeaxcosbx, ax4=xe sinbx， =eaxcosbx,axsinbx，
ax
2cosbx, 1 2 ax 1 ax2
1= xe cosbx, 2 1=
2 e xsinbx，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基i(i=1,2,,6)下的矩阵；
101
3
中线性变换A在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是110
5)已知P，
121
求A在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵； 6)在P 3
中，A定义如下：
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A(5,0,3)
1 A(0,1,6)
2 ，
A(5,1,9)
3
其中
1 (1,0,2) (0,1,1)
2
，
(3,1,0)3
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵； 7)同上，求A在1,2,3下的矩阵。
解1)A1=(2,0,1)=21+3，A2=(-1,1,0)=-1+2，A3=(0,1,0)=2，
210
011故在基1,2，3下的矩阵为
。
100
2）取
1 1=（1，0），2=（0，1）
，则A1= + 1
1 12，A2= + 1 12 2 2
2 2，11
故A在基 1，2下的矩阵为A=
2 2 1 1 。
22
又因为B1=0，B2= 0 0
2，所以B在基1，2下的矩阵为B= ，另外，（0 1
（B
2）=A 2=
1 2 + 1
12
2， 1
0
2
1
所以AB在基
1
，2下的矩阵为AB=。
0
2
3）因为
x(x1)x(x1)[x(n2)]
1,1x,2,,n1， 0n
2!(1)!
所以A110
0，
A1(x1)x0，
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AB）2=A
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
