第四章 轴对称问题有限元法
在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。这种问题就称为轴对称问题。在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。
第一节 轴对称问题弹性力学基本方程
对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（r,?,z）。如果将
zzr?Pyx
弹性体的对称轴作为Z轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r和Z轴的函数，而与?无关，即不随?变化。弹性体内任意一点只有两个位移：即沿r方向的径向位移u和沿Z方向的轴向位移w。由于轴对称，沿?方向的环向（周向）位移v等于零。因此轴对称问题是二维问题。
在轴对称弹性体内用相距dr的两个圆柱面和过轴线互
1
成dθ角的两个铅垂面切割出一个高为dz的微元体，如图2所示。
zdzzyO?xrdrd?(a)
?z?r ???rz?zr?rz???zr?r(b)
?z沿r方向作用的正应力?r称为径向应力 沿θ方向作用的正应力??称为环向应力 沿z方向作用的正应力?z称为轴向应力 rz面内的剪应力 ?zr=?rz
2
故轴对称弹性体内任意一点的应力分量
??????r???z?rz???????r???z?rz?其中
TT
对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量
?r ------ 沿r方向径向线应变 ?? ------ 沿θ方向环向线应变 ?z ------ 沿z方向轴向线应变
?rz------ rz面内的剪应变
与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变??。弹性体受载时，点（r,?,z）产生径向位移u，使过点（r,?,z）的周长增加了2?(r?u)?2?r，因而产生相对伸长，即环向应变:
2?(r?u)?2?ru????
2?rr轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为
?uu?w?w?u?r?,???,?z?,?zr??
?rr?z?r?z
3
第四章轴对称问题有限元法
