答：当R?3V4V h?3时表面积最大。 2??⒎欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？
解：设底连长为x，高为h。则：
62.5?x2h2?h?62.5 2x2侧面积为：S?x?4xh?x?令S??2x?250 x250?0x2?x3?125?x?5
答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 （四）证明题
⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：由中值定理得：
ln(1?x)ln(1?x)?ln11???1x(1?x)?11??(???0)
?ln(1?x)?1x?x?ln(1?x)(当x?0时）
x⒉当x?0时，证明不等式e?x?1． 设f(x)?ex?(x?1)
f?(x)?ex?1?0(当x?0时）?当x?0时f(x)单调上升且f(0)?0
?f(x)?0,即ex?(x?1)证毕
《高等数学基础》第四次作业
第5章 不定积分
第6章 定积分及其应用
（一）单项选择题
1，则f?(x)?（D ）． x112 A. lnx B. ?2 C. D. 3
xxx ⒈若f(x)的一个原函数是⒉下列等式成立的是（D ）． A
?f?(x)dx?f(x) B. ?df(x)?f(x)C. d?f(x)dx?f(x) D.
df(x)dx?f(x) dx?⒊若f(x)?cosx，则
?f?(x)dx?（B ）．
A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c ⒋
d23xf(x)dx?（ B）． ?dx323 A. f(x) B. xf(x) C. ⒌若
?f(x)dx?F(x)?c，则?11f(x) D. f(x3) 331f(x)dx?（B ）． x A. F(x)?c B. 2F(x)?c C. F(2x)?c D.
1xF(x)?c
⒍由区间[a,b]上的两条光滑曲线y?f(x)和y?g(x)以及两条直线x?a和x?b所
围成的平面区域的面积是（C ）． A.
?ba[f(x)?g(x)]dx B.?[g(x)?f(x)]dx
abC.
?baf(x)?g(x)dx D.
?ba[f(x)?g(x)]dx
（二）填空题
⒈函数f(x)的不定积分是
?f(x)dx．
⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式
F(x)?G(x)?c(常数）．
⒊dedx?e ⒋(tanx)?dx?tanx?c ⒌若 ⒍
3?x2x2??f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)
15(sinx?)dx?3 ??32??1 ⒎若无穷积分?dx收敛，则p?0
1xp（三）计算题
cos⒈⒉
?1xdx??cos1d(1)??sin1?c
?xxxx2xx11⒊?dx??d(lnx)?ln(lnx)?c
xlnxlnx1111⒋?xsin2xdx??xcos2x??cos2xdx??xcos2x?sin2x?c
2224e3?lnxe11e⒌?dx??(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)1?
11x2211?2x111?2x1?21?2x11?21?2xe? ⒍?xedx??ex??edx??e?e0?002224440eex21ee21lnx??xdx?? ⒎?xlnxdx?1122241⒏
?edx?2?exdx?2ex?c
?e1ee1lnx111dx??lnx?dx????1x2xexx21e1??2?1 e（四）证明题
⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则证:令x??t?a?af(x)dx?0．
a?a?a?af(x)dx????aaf(?t)dt??f(?t)dt???f(t)dt
?aa
??aa?af(x)dx????af(x)dx??a?af(x)dx?0 证毕
⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则?a?af(x)dx?2?a0f(x)dx．
证：?a?af(x)dx??0a?af(x)dx??0f(x)dx
令x??t,则?0?af(x)dx???0aaf(?t)dt??0f(t)dt?f(x)是偶函数
?af(x)dx??0f(x)dx??af(x)dx??aaa?a?a00f(x)dx??0f(x)dx?2?0f(x)dx⒊证明：?aa?af(x)dx??0[f(x)?f(?x)]dx
证：?a0a0a?af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx???af(?x)dx??0f(x)dx
=?a)dx??af(x)dx??a0f(?x00[f(x)?f(?x)]dx 证毕
证毕
2014年秋电大高等数学基础形成性考核册答案
