y???exsin(2ex)
⑹
y?cosex2nx2
x2y???2xesine⑺y?sinxcosnx
y??nsinn?1xcosxcosnx?nsinnxsin(nx)
⑻
y?5sinx2
y??2xln5cosx5⑼
2sinx2
y?esin2x
y??sin2xe⑽
sin2x
y?x?ex2x2x2
y??x(x?2xlnx)?2xe⑾
x2
y?xexex?eex
y??xxex(?exlnx)?eeexx
⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?： ⑴ycosx?e2y
y?cosx?ysinx?2e2yy?
ysinx y??2ycosx?2e⑵y?cosylnx
1y??siny.y?lnx?cosy.
xcosyy??
x(1?sinylnx)
x2⑶2xsiny?
y2yx?x2y?x22yx? 2xcosy.y??2siny?y(2xcosy?)??2siny
y2y2y22xy?2ysinyy?? 222xycosy?x⑷y?x?lny
y??1 yyy??
y?1y2⑸lnx?e?y 1?eyy??2yy? x1y??
x(2y?ey)y??
⑹y?1?esiny
2x2yy??excosy.y??siny.ex
exsiny y??x2y?ecosy
⑺e?e?y
yx3eyy??ex?3y2y?
exy??y?3y2
e
xy⑻y?5?2
y??5xln5?y?2yln2
5xln5y?? y1?2ln2
⒋求下列函数的微分dy： ⑴y?cotx?cscx
?1cosx?)dx 22cosxsinxlnx⑵y?
sinx1sinx?lnxcosxxdy?dx 2sinx1?x⑶y?arcsin
1?xdy?(dy?11?x21?()1?x?(1?x)?(1?x)1?x21dx??dx 22x(1?x)(1?x)
⑷y?31?x 1?x两边对数得：lny?1?ln(1?x)?ln(1?x)? 3y?1?11?(?) y31?x1?xy???
⑸y?sine
2x131?x11(?)
31?x1?x1?xdy?2sinexexexdx?sin(2ex)exdx
⑹y?tanex
33dy?sec2ex3x2dx?3x2exsec2xdx
⒌求下列函数的二阶导数： ⑴y?xlnx
33y??1?lnx
1y???
x
⑵y?xsinx
y??xcosx?sinx y????xsinx?2cosx
⑶y?arctanx
y??1
1?x22xy???? 22(1?x)2⑷y?3x
y??2x3ln3 y???4x3ln3?2ln3?3（四）证明题
设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)
两边导数得：f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x) 所以f?(x)是偶函数。
x22x22x2
《高等数学基础》第三次作业
第4章 导数的应用
（一）单项选择题
⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)? A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导
C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数f(x)?x?4x?1的单调增加区间是（D ）． A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）．
A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点
⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值．
A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0
⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）．
A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的
（二）填空题
⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时
22f(b)?f(a)．
b?af?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 点．
⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ．
⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是(??,0)．
⒋函数f(x)?ex的单调增加区间是(0,??)
⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是 x=0 ．
（三）计算题
⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值． 令y??(x?1)2(x?5)?2(x?5)(x?2)
22223?驻点x?2,x?5
列表：
极大值：f(2)?27
X (??,2) + 上升 y? y 2 (2,5) 极大 - 下降 27 5 极小 0 (5,??) + 上升 极小值：f(5)?0
⒉求函数y?x?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 令：y??2x?2?02?x?1(驻点）
f(0)?3
f(3)?6f(3)?6 f(1)?2
f(1)?2
?最大值?最小值
32 ⒊试确定函数y?ax?bx?cx?d中的a,b,c,d，使函数图形过点(?2,44)和点
(1,?10)，且x??2是驻点，x?1是拐点．
?44??8b?4b?2x?d??10?a?b?c?d?解：?
0?12a?4b?c??0?6a?2b??a?1?b??3???
c?16???d??24
2 ⒋求曲线y?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．
2解：设p(x,y)是y?2x上的点，d为p到A点的距离，则：
d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x
2(x?2)?2x?1令d????0222(x?2)?2x(x?2)?2x?y2?2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。
?x?1
⒌圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的
体积最大？
设园柱体半径为R，高为h，则体积
V??R2h??(L2?h2)h
令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?0?L?3hh?3L3R?2L3?当h?3,R?32L时其体积最大。 3⒍一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 设园柱体半径为R，高为h，则体积
V??R2hS表面积?2?Rh?2?R2?2?V?2?R2 R令：S???2VR?2?4?R?0h?34V
VV?R3?R?3 2?2??
2014年秋电大高等数学基础形成性考核册答案
