2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0时，与 （A）1?ex?x等价的无穷小量是
（B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ] 1?x（2）曲线
y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （3）如图，连续函数y?f(x)在区间周，在区间
??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆
x??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??0f(t)dt，则
下列结论正确的是： （A）F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ] （5）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2 ，则(C) 若u1?u2 ，则[ ]
（6）设曲线L:f(x,y)?1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象
限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （A）
?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散.
?Tf(x,y)dx. （B）?f(x,y)dy
T（C）
?Tf(x,y)ds. （D）?fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ ]
T（7）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
[ ]
?2?1?1??100?????（8）设矩阵A??12?1,B?010，则A与B
??????1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0?p?1)，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为
（A）3p(1?p). （B）6p(1?p).
（C）3p(1?p). （D）6p(1?p) [ ] （10）设随机变量
222222?X,Y?服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y?y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为
(A) fX(x). (B) fY(y). (C) fX(x)fY(y). (D)
fX(x)
. [ ] fY(y)
二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）
?2111exdx? =__________. 2xyx（12） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(x,y)，则（13） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e（14） 设曲面?:|x|?|y|?|z|?1，则
2x?z? __________. ?x的通解为
y?________.
ò???x?|y|?dS?
??0?0（15）设矩阵A???0??0（16）在区间
100??010?3
，则A的秩为 . 001??000??0,1?中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于
1的概率2为 .
三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分11分)
求函数f(x,y)?x?2y?xy在区域D?最小值.
（18）（本题满分10分） 计算曲面积分 I2222??x,y?|x2?y2?4,y?0?上的最大值和
???xzdydz?2yzdzdx?3xydxdy，
?y2(0?z?1) 的上侧. 其中?为曲面z?1?x?42（19） (本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在
?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
（20） (本题满分10分)
设幂级数
?axnn?0?n在(??,??)内收敛，其和函数y(x)满足
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
（Ⅰ）证明：an?2?2an,n?1,2L； n?1（II）求y(x)的表达式.
（21） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所
?2?x1?4x2?ax3?0有公共解.
（22） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)是A的属于?1的一个特征向量，记B?TA5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
2007年全国硕士研究生入学统一考试(数一)试题及答案
