74328π
【规范解答】该几何体为一个球去掉八分之一，设球的半径为r，则×πr＝，解得r＝2，故该几何
8337322
体的表面积为×4π×2＋×π×2＝17π.
84
【反思提高】在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状,最后根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸. 【误区警示】
1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.
2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.
考向二 球与多面体的切接问题
【高考改编☆回顾基础】
1.【球与多面体的切接、面积与体积】【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】
9? 22．【球与多面体的切接、面积与体积】【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________． 【答案】36?
【解析】取SC的中点O，连接OA,OB 因为SA?AC,SB?BC 所以OA?SC,OB?SC 因为平面SAC?平面SBC
6
所以OA?平面SBC 设OA?r
1111VA?SBC??S?SBC?OA???2r?r?r?r3
33231所以r3?9?r?3，所以球的表面积为4?r2?36?
3§网]
3. 【球与旋转体的切接、面积与体积】【2017江苏，6】 如图,在圆柱O1,O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O1,O2的体积为V1,球O的体积为V2,则
O2 V1的值是 . V2??O ?
O 1 (第6题) 【答案】
3 2
【命题预测☆看准方向】
球与多面体的切、接问题中的有关几何体的表面积、体积计算，往往与三视图结合考查，一般为选择题或填空题，难度以低、中档为主.
【典例分析☆提升能力】
【例1【四川省泸州市2024届高三第一次诊断】已知三棱锥正三角形且和球心在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为【答案】【解析】
与球心在同一平面内，
设球半径为， 则
的边长
，
，
7
的所有顶点都在同一球面上，底面，则球的表面积等于__________．
是
是的外心，
当到所在面的距离为球的半径时， 体积最大，
，
，
球表面积为，故答案为.
【趁热打铁】已知S,A,B,C是球O上的点SA?平面ABC， AB?BC, SA?AB?1， BC?则球O的表面积等于________________． 【答案】4?
2,【解析】
由已知S,A,B,C是球O表面上的点，所以OA?OB?OC?OS ，又SA?平面ABC， AB?BC，所以四面体S?ABC的外接球半径等于以长宽高分别以SA,AB,BC三边长为长方体的外接球的半径，因为
SA?AB?1， BC?2,所以2R=SA2?AB2?BC2?2,R?1，所以球O的表面积S?4?R2?4?.
【例2】【2024届江西省莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】已知三棱锥S?ABC的各顶点在一个表面积为4?的球面上，球心O在AB上， SO?平面ABC， AC?__________. 【答案】
2,则三棱锥S?ABC的体积为
1 32【解析】如图所示,设球的半径为r,则4?r?4?，解得r=1.
∵OC+OA=2=AC，∴OC⊥OA. ∵球心O在AB上，SO⊥平面ABC，
222
1??2?1?1， ABC2111三棱锥的体积： V?SABC?SO??1?1?.
333则三棱锥的底面积： S 8
故答案为：
1. 3
【趁热打铁】【2024届贵州省遵义航天高级中学高三第五次模拟】如图1，在平面ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2, BD?CD,将其对角线BD折成四面体A??BCD,如图2，使平面A?BD?平面BCD,若四面体
A??BCD的顶点在同一球面上，则该球的体积为____________
【答案】
82? 322?6??2?262??R?R?2 ，【解析】因为BD中点O到A?距离为 ，O到C距离为 ，所以R?????????22?2??2?体积为?R?43382? 3【例3】有人由“追求”联想到“锥、球”并构造了一道名为《追求2017》的题目，请你解答此题：球O的球心为点O，球O内切于底面半径为3、高为3的圆锥，三棱锥V﹣ABC内接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，则三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为_____． 【答案】2?2 12【解析】圆锥的母线长为3?9 =23，设球O的半径为r，则r3?r? ， 323 9
解得r=1．
∵OA⊥OB，OA=OB=1，∴AB=2， ∵AC⊥BC，∴C在以AB为直径的圆上， ∴平面OAB⊥平面ABC， ∴O到平面ABC的距离为
2， 22?1． 2故V到平面ABC的最大距离为
又C到AB的最大距离为2， 2112?2?2?2∴三棱锥V﹣ABC的体积的最大值为??2????1?? =12． 322?2??故答案为：
2?2． 12
【趁热打铁】在封闭的直三棱柱ABC-ABC内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA=3,则V的最大
111
1
值是( )
A.4π 【答案】B
B. C.6π D.
[来
【解析】由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切. 设球的半径为R,易得△ABC的内切圆的半径为所以Vmax=
,故选B.
=2,则R≤2.因为2R≤3,即R≤,
【方法总结☆全面提升】
1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正
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2024年高考理科数学二轮复习专题立体几何解题方法与技巧总结
