2019年高三二轮复习 理科数学
专题五 立体几何
考向一 三视图与几何体的面积、体积
【高考改编☆回顾基础】
1．【数学文化与三视图】【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A．【答案】A 【解析】
B． C． D．
观擦图形图可知，俯视图为故答案为A.
2. 【三视图与空间几何体的体积】【2018年浙江卷改编】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）是 .
3
1
【答案】6
3. 【空间几何体的体积】【2018年全国卷II文】已知圆锥的顶点为，母线面所成角为【答案】8π 【解析】 如下图所示，
，若
的面积为，则该圆锥的体积为__________．
，
互相垂直，
与圆锥底
又解得
，所以
，
，
.
所以该圆锥的体积为
4. 【三视图与空间几何体的结构特征】【2018年北京文改编】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
【答案】3 【解析】
由三视图可得四棱锥由勾股定理可知：三个，故选C.
2
，在四棱锥中，，
共
，则在四棱锥中，直角三角形有：
【命题预测☆看准方向】
1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体的面积、体积以及几何体的结构特征,题型以选择题、填空题的形式考查.
2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高考的一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查.
3.2019年应注意抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有四个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积;二是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的相切、接问题中的有关几何体的表面积、体积；四是立体几何与数学文化相结合的问题.
【典例分析☆提升能力】
【例1】17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V＝kD，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么，k1∶k2∶k3＝( ) A.
3
3
????1236∶∶1 B. ∶∶2 C. 1∶3∶ D. 1∶∶ 4664?2?3【答案】D
44?D???【解析】球中， V??R3?????D3?k1D3,?k1?；
33?2?66???D?等边圆柱中， V?????D?D3?k2D3,?k2?；
44?2?33正方体中， V?D?k3D,?k3?1；
2 3
所以k1:k2:k3???:36:1?1::.故选D. 642?【趁热打铁】将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( ) A.
π8ππ2π B. C. D. 272739【答案】B
【解析】
如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得体积V??r2?2?2r??2?r2?r3r2?x，所以x?2?2r，所以圆柱的?122???0?r?1?，设V?r??2??r??r3?0?r?1?，则
?V'?r??2?2r?3r2，由2?2r?3r2?0得r????2?2??2?1? 上递， V?r?在?0，? 上递增， V?r?在?，333????减，所以圆柱的最大体积Vmax??2?2?2?3?8??2?????????，故选B.
???3??3???27【例2】【2018届河南省郑州市第一次模拟】刍薨（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）
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A. 24 B. 325 C. 64 D. 326 [【答案】B
【趁热打铁】【2018届湖北省稳派教育高三上第二次联考】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
8??16164 B. 8?? C. 12??6 D. ??4 333【答案】A
【解析】由三视图可得，该几何体为右侧的一个半圆锥和左侧的一个三棱锥拼接而成.由三视图中的数据可得其体积为V?1?11?18??16?????2?4??4??????22??4?.选A. 3?22?33??【方法总结☆全面提升】
1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.
2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是求侧面积还是求表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.
3. 等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.
【规范示例☆避免陷阱】
【典例】【2016·全国卷Ⅰ改编】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直28π
的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是________．
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2019年高考理科数学二轮复习专题立体几何解题方法与技巧总结
